图论强势总结(看这一篇就够了!)

图论

最短路

朴素dijkstra

解决非负权图的单源最短路问题,适合稠密图,用邻接矩阵存储,时间复杂度o(n ^ 2)

算法思想

算法流程

  1. 初始时把其他点到起点1的距离赋值为INF,dist[1] = 0;
  2. 每次找到不在集合s中的点到起点1的最短距离的点t,把t加入到集合s中去
  3. 用t更新其他不在集合s中的点的距离
  4. 重复2,3步骤n - 1次

代码

int g[N][N];  // 存储每条边
int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    for(int i = 0; i < n - 1; i ++)//迭代n - 1次就行
    {
        int t = -1;// 在还未确定最短路的点中,寻找距离最小的点
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        	if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        st[t] = true;//找到当前距离最小的点加到集合s中去
        // 用t更新其他未在集合s中的点的距离,已经在集合s中的点的距离不会被更新,这样写代码更简洁
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        	dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
        
        
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

堆优化dijkstra

解决非负权图的单源最短路问题,适合稀疏图,用邻接表存储,时间复杂度o(mlogn)

代码

typedef pair<int, int> PII;

int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 稀疏图用邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定
void add(int a, int b, int c)//建用边权的图
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
// 求1号点到n号点的最短距离,如果不存在,则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap;//定义pair类型的小根堆,first表示dist, second表示节点编号
    heap.push({0, 1});
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int ver = t.second, d = t.first;
        if(st[ver]) continue;//去掉冗余的点,优化时间
        st[ver] = true;
        
        for(int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > d + w[i])
            {
                dist[j] = d + w[i];
                heap.push({dist[j], j});//同一个点可能会被多个点更新距离,多次进heap,所以heap中可能有冗余的点,
            }
        }
        
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

Bellman-Ford

解决单源最短路问题,并且可以在负权图上得到正确答案。并能够判断负环的存在,。代码比较简单,但是效率很低,时间复杂度o(nm)

算法原理

Bellman-Ford运用了动态规划的思想(Bellman是动态规划的创始人)。时间复杂度是\(O(VE)\)

\(dp[i][j]\)为起点\(s\)最多经过\(i\)个节点到达\(j\)的最短路径长度,\(dp[i][j]\)的初始值应被设为\(\infty\)。考虑状态转移:

\[dp\left[i\right]\left[j \right]=min(dp[i][j],dp[i-1][v]+|\left< v,j\right>|) \]

方程可以优化为

\[dp[j]=min(dp[j],dp[v]+|\left<v,j \right>|) \]

因为即使\(v\)先被更新了也不会影响答案的正确性。

若图\(G\)中不存在负环,则任意两点的最短路径一定是简单路径。所以如果没有负环,则所有点会在\(V-1\)次循环后更新完毕,如果图中存在负环则可以继续被更新。由此可以判断负环的存在。

所以我们可以进行\(V\)轮循环,每次循环对每条边的终点节点进行更新。如果某一轮不存在被更新的节点则退出循环,不存在负环。如果成功进入了第\(V\)轮循环则存在负环。

算法流程

  1. 初始时把其他点到起点1的距离赋值为INF,dist[1] = 0;
  2. 迭代n - 1次,每次对所有m条边进行判断松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离
  3. 根据需要判断是否有负环

描述性证明

图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此最短路径最多包含|v|-1条边

其次,从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径,则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作,实际上就是按顶点距离s的层次,逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1遍松弛的时候,生成了从s出发,层次至多为1的那些树枝。也就是说,找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径;对每条边进行第2遍松弛的时候,生成了第2层次的树枝,就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1条边,所以,只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作,最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离,此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变,不再受后续松弛操作的影响。(但是,每次还要判断松弛,这里浪费了大量的时间,这就是Bellman-Ford算法效率底下的原因,也正是SPFA优化的所在)。

判断负环

图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此最短路径最多包含n - 1条边,所以在第n - 1次松弛后如果还能更新,则说明图中有负环,无法得出结果,否则就成功完成

Bellman-Ford算法是否一定要循环n-1次么

未必,其实只要在某次循环过程中,考虑每条边后,都没能改变当前源点到所有顶点的最短路径长度,就可以退出循环了

代码

int n, m;       // n表示点数,m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边,a表示出点,b表示入点,w表示边的权重
{
    int a, b, w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离,如果无法从1走到n,则返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    for(int i = 0; i < n - 1; i ++)
    {
        memcpy(backup, dist, sizeof dist);// 保证在第i次循环是是从源点最多经过i+1条边的最短距离,避免串连。
        for(int j = 0; j < m; j ++)
        {
            Edge e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], backup[e.a] + e.w);
        }
    }
    bool flag = true;// //判断是否含有负权回路
    for(int i = 0; i < m; i ++)
    {
        Edge e = edges[j];
        if(dist[e.b] > dist[e.a] + e.w)
        {
            flag = false;
            break;
        }
    }
    if(dist[n] >= 0x3f3f3f3f / 2) return -1;//不是==,因为即是n不可达,由于有负权边,dist也有可能被更新
    return dist[n];
}

SPFA

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)可以看成是队列优化的Bellman-Ford。时间复杂度平均情况下 O(m),最坏情况下 O(nm), n表示点数,m表示边数

算法思想

核心思想是只有被松弛过的节点,才有可能更新邻接点。

算法流程

  • 将源点s加入队列,初始化其他节点到源点s的距离=INF, dist[s] = 0

  • 每次取出队列头节点,松弛相邻节点

    • 如果该相邻节点能够被松弛
      • 如果该邻接点不在队列中
        • 如果该邻接点入队次数为n - 1,则存在负环,结束算法
        • 否则将邻接点加入队列
      • 否则继续循环
    • 否则继续循环

spfa求最短路

给定一个n个点m条边的有向图,图中可能存在重边和自环, 边权可能为负数

请你求出1号点到n号点的最短距离,如果无法从1号点走到n号点,则输出impossible。

数据保证不存在负权回路。

代码

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

// 求1号点到n号点的最短路距离,如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i//只有从队列中取出被松弛过的点,才有可能更新其相邻节点
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])     // 如果队列中已存在j,则不需要将j重复插入
                {
                    q.push(j);//被松弛就加入队列
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

spfa判断负环

给定一个n个点m条边的有向图,图中可能存在重边和自环, 边权可能为负数

请你判断图中是否存在负权回路。

代码

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N];        // dist[x]存储起点到x的最短距离,cnt[x]存储起点到x的最短路中经过的点数,注意起点不一定是1
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

// 如果存在负环,则返回true,否则返回false。
bool spfa()
{
    // 不需要初始化dist数组,只要dist一样就行
    // 原理:如果某条最短路径上有n个点(除了自己),那么加上自己之后一共有n+1个点,由抽屉原理一定有两个点相同,所以存在环。

    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )//负环可以从任意点开始,初始把所有点加到队列中去
    {
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])//只有被松弛过的点,才有可能更新其相邻节点
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;       // 如果从起点到x的最短路中包含至少n个点(不包括自己),则说明存在环
                if (!st[j])//如果该节点在队列中就没必要重复加了
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}



Floyd

Floyd算法可以用来求解全局最短路径问题。即求出任意结点\(v\),\(w\)的最短路长度。时间复杂度为\(O(V^3)\)

算法原理

假设有向图\(G\)\(V\)个点,Floyd算法采用的是动态规划的思想。假设\(dp \left[ k \right]\left[ i \right]\left[ j \right],为从\)\(i\)点到\(j\)点且只能经过\(1 \sim k\)中的点的最短路长度。那么\(dp \left[ V \right]\left[ i \right]\left[ j \right]\)就是\(i\)\(j\)的全局最短路径答案了。那么首先\(dp \left[ 0 \right]\left[ i \right]\left[ j \right]\)即图中结点\(i\)到结点\(j\)的有向边的长度,如果不存在边那么应是无穷,因为他们不能直接不经过任何点就到达。考虑\(dp \left[ k \right]\left[ i \right]\left[ j \right]\)的转移,从结点\(i\)到结点\(j\)且只能经过\(1 \sim k\)中的点,有两种情况:

1.不经过\(k\),那么这个情况的最小花费就是\(dp \left[ k-1 \right]\left[ i \right]\left[ j \right]\)

2.经过\(k\),这个情况肯定是\(i\)走到\(k\),然后\(k\)走到\(j\),显然两个过程如果花费最小都不可能在中间经过\(k\),所以这个情况的最小花费就是\(dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j]\)

得出状态转移方程\(dp \left[ k \right]\left[ i \right]\left[ j \right] =min(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j])\)

空间优化

我们发现\(dp[i][j][k]\)只与\(dp[i-1][j][k]\)有关,所以我们可以把空间从\(V*V*V\)优化到\(2*V*V\),转移方程改写为

\(dp \left[ k\%2 \right]\left[ i \right]\left[ j \right] =min(dp[(k\%2) \hat{}1][i][j],dp[(k\%2) \hat{}1][i][k]+dp[(k\%2) \hat{}1][k][j])\)

其实还可以直接将状态转移方程改写为\(dp\left[ i \right]\left[ j \right] =min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j])\),因为在第\(k\)个阶段更新\(dp[i][j]\)的时候,\(dp[i][k]\)\(dp[k][j]\)虽然有可能已经被更新了,即不是\(dp[k-1][i][k],dp[k-1][k][j]\),而是\(dp[k][i][k],dp[k][k][j]\)了,但是这对最终答案并不会产生影响。

代码

// 算法结束后,d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

最小生成树

无向图才有最小生成树

prim算法

Prim 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法。

算法思想

该算法的基本思想是从任意一个结点开始,不断加点(而不是 Kruskal 算法的加边)。

具体来说,每次要选择距离最小的一个结点,以及用新的边更新其他结点的距离。

其实跟 Dijkstra 算法一样,每次找到距离最小的一个点,可以暴力找也可以用堆维护。

有点都已加入到S中

二叉堆: o((n + m)logn)

Fib 堆:

算法流程

S:当前已经在联通块中的所有点的集合

1.dist[i] = inf(初始时生成树可以从任意点作为起点)

2.for n 次
t<-S外离S最近的点
利用t更新S外点到S的距离
st[t] = true
n次迭代之后所有点都已加入到S中

联系:Dijkstra算法是更新到起始点的距离,Prim是更新到集合S的距离,注意dist的含义

代码

int n;      // n表示点数
int g[N][N];        // 邻接矩阵,存储所有边
int dist[N];        // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N];     // 存储每个点是否已经在生成树中

int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;//假如从1开始
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dit[j]))
                t = j;
        if(dist[t] == INF) return INF;
        res += dist[t];////要先加再更新,因为如果有自环的话,可能被加进来,而生成树是不允许有自环的
        st[t] = true;
        
        for(int j = 1; j <= n; j ++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]//dist表示的是到连通块s的距离,注意与dijkstra的区别dist[j] + g[t][j]
        
    }
    return res;
}

Kruskal算法

Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法,由 Kruskal 发明。该算法的基本思想是从小到大加入边,是个贪心算法。

时间复杂度是 O(mlogm),n 表示点数,m 表示边数,适合稀疏图

算法思想

思路很简单,为了造出一棵最小生成树,我们从最小边权的边开始,按边权从小到大依次加入,如果某次加边产生了环,就扔掉这条边,直到加入了 n - 1条边,即形成了一棵树。

代码

int n, m;       // n是点数,m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通,则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
        if(cnt >= n - 1) break;
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

参考博文和代码

https://www.cnblogs.com/five20/p/7782931.html

https://www.acwing.com/blog/content/405/

posted @ 2020-07-27 17:17  ^^^天天向上~~~  阅读(141)  评论(2编辑  收藏