傅里叶级数求振幅和常量

1.  傅里叶级数展开式

  周期函数 $g(t)$ 的傅里叶级数展开式为：

$$g(t) = \frac{1}{2}c + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(2\pi n f t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(2\pi n f t)$$

• \( f \) 代表基本频率，和周期 \( T \) 的关系是 \( f = \frac{1}{T} \)；
• \( c \) 是常数，代表直流分量；
• \( a_n \) 和 \( b_n \) 分别是正弦项与余弦项的系数。

2.  求a_n 的公式

  为了得到 a_n，我们利用三角函数系的正交性，也就是：

$$\int_{0}^{T} \sin(2\pi n f t) \cdot \cos(2\pi m f t) \, dt = 0 \quad (\text{对任意的 } n, m)$$

$$\int_{0}^{T} \sin(2\pi n f t) \cdot \sin(2\pi m f t) \, dt = \begin{cases} \frac{T}{2} & (n = m) \\ 0 & (n \neq m) \end{cases}$$

  以及正弦函数和余弦函数在一个完整周期内的积分必然为 0（函数的正负半周面积相互抵消），因此常数与正弦函数的乘积在一个周期内的积分也为 0。

   将 g(t) 的两边同时乘以 sin(2πkft)，然后在一个周期 [0, T] 内进行积分：

   \[ \int_{0}^{T} g(t) \cdot \sin(2\pi k f t) \, dt = \int_{0}^{T} \left[ \frac{1}{2}c + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(2\pi n f t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(2\pi n f t) \right] \cdot \sin(2\pi k f t) \, dt \]

  依据正交性，等式右边除了 sin(2πkft) 自身相乘的项，其余项的积分结果都为 0。这样一来：

   \[ \int_{0}^{T} g(t) \cdot \sin(2\pi k f t) \, dt = a_k \cdot \frac{T}{2} \]

  由此可以得出 a_n 的计算公式为：

   \[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} g(t) \cdot \sin(2\pi n f t) \, dt \]

3.  最终结果

  傅里叶级数中正弦项的系数 a_n  可通过以下公式计算：

$$\boxed{a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} g(t) \cdot \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \, dt} $$

  这里的 T 是函数 g(t) 的周期。

4.  公式说明

• 积分区间：积分区间 [0, T] 能够替换成任意一个周期长度的区间，如 [\( - \frac{T}{2} , \frac{T}{2} \)]。
• 适用范围：该公式的适用前提是函数 g(t) 满足狄利克雷条件（在一个周期内只有有限个第一类间断点和有限个极值点）。
• 在傅里叶级数的框架中，$n$ 和 $m$ 必须是正整数。