狄拉克δ函数的导数
狄拉克δ函数的图像像个钉子，如下图所示，谈论他的导数好像比较奇怪。
δ函数
我们从狄拉克δ函数的积分性质开始它的导数。狄拉克δ函数具有如下性质：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\mathrm dx=f(0)
\label{eq1}
\end{equation}
狄拉克δ函数的\(n\)阶导数为\(\delta^{(n)}(x)\)，做如下分部积分
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=f(x)\delta{(n-1)}(x)\big\lvert_{-\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
\label{eq2}
\end{equation}
第一项是0，因为狄拉克δ函数在\(x\neq 0\)的地方是常数0，因此导数也为0。于是我们有
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
\label{eq3}
\end{equation}
上式对任意函数\(f(x)\)都成立，因此两边被积函数相等，
\begin{equation}
f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
\label{eq4}
\end{equation}
对于一阶导数有
\begin{equation}
f(x)\delta'(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta(x)\mathrm dx
\label{eq5}
\end{equation}
如果\(f(x)=x\)，有
\begin{equation}
x\delta'(x)\mathrm dx=- \delta(x)\mathrm dx
\label{eq6}
\end{equation}
将\eqref{eq4}迭代下去，得
\begin{equation}
f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=(-1)^n \delta(x)\prod_{k=1}nf(x)
\label{eq7}
\end{equation}
例1 令\(f(x)=4x^2-1\)，有
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} (4x^2-1)\delta'(x-3)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} 8x\delta(x-3)\mathrm dx=-24
\label{eq8}
\end{equation}
例2 令\(f(x)=x^n\)，由\eqref{eq7}式有
\begin{equation}
xn\delta(x)\mathrm dx=(-1)^n n!\delta(x)
\label{eq9}
\end{equation}
