2024 ICPC Asia Shenyang Regional

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• 2024 ICPC Asia Shenyang Regional
  • [B] Magical Palette
    • 必要条件
    • 充分条件

[B] Magical Palette

You are given a magical palette with a grid of \(m\) rows and \(n\) columns. There are \(m\cdot n\) kinds of selectable pigments, represented by integers \(\mathbb{N}\cap[0,m\cdot n)\). You need to assign a pigment to each row, named \(\vec{a}=(a_i)_{i=0}^{m-1}\), and one to each column, named \(\vec{b}=(b_i)_{i=0}^{n-1}\). Afterwards, for cell of the \(i\)-th row and the \(j\)-th column, you'll mix a color \(c_{i,j}=a_i\cdot b_j\bmod{m\cdot n}\). Find out whether you can make each of the \(m\cdot n\) cells contain a different color. If so, give a possible selection of \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\).

There are \(T\in\mathbb{N}\cap[1,10^4]\) testcases. It is guaranteed that \(m,n\in\mathbb{N}\cap[1,10^6]\) and the sum of \(m\cdot n\) over all testcases does not exceed \(10^6\).

不妨设\(m\leq n\)。

必要条件

不妨设\(a_0\cdot b_0\equiv0\pmod{m\cdot n}\)，则存在\(u,v\in\mathbb{N}^*\)使得\(u\cdot v=m\cdot n,\ u\mid a_0,\ v\mid b_0\)。由于第\(0\)行的数均为\(a_0\)的倍数，故\(\forall j\in\mathbb{N}\cap[0,n)\ (u\mid c_{0,j})\)，由\(a_0\)得到的\(c_{0,j}=u_0\cdot\text{some integer}\bmod{(m\cdot n)}\)最多有\(\frac{m\cdot n}{u}\)个互异值（证明见下）。另一方面，列数\(n\)又要求\(c_{0,j}\)要有\(n\)个互异值，所以\(\frac{m\cdot n}{u}\geq n\iff u\leq m\)，同理\(v\leq n\)。然而实际上\(u\cdot v=m\cdot n\)，故\(u=m,\ v=n\)，也就是\(m\mid a_0,\ n\mid b_0\)。

证明：通过任取\(s\in\mathbb{N}^*\)，一共能得到最多\(\frac{m\cdot n}{u}\)个互异的\(a_0\cdot s\bmod{(m\cdot n)}\)。

设\(a_0=u\cdot t\ (t\in\mathbb{N^*})\)，则任取\(s\in\mathbb{N}^*\)，

\[a_0\cdot s\bmod{(m\cdot n)}=u\cdot s\cdot t\bmod{(m\cdot n)}\triangleq r \]

必为\(u\)的倍数，因为对于任何\(x\in\mathbb{Z}\)满足\(x\bmod{(m\cdot n)}=r\)，存在\(q\in\mathbb{Z}\)使得

\[x=q\cdot m\cdot n+u\cdot s\cdot t=q\cdot u\cdot v+u\cdot s\cdot t=(q\cdot v+s\cdot t)u, \]

因此\(x\)必为\(u\)的倍数，包括\(r\)在内。

\(r\in\mathbb{N}\cap[0,m\cdot n)\)，这个范围里有多少个数是\(u\)的倍数呢？那就是\(\frac{m\cdot n}{u}\)个。Q.E.D.

知道\(m\mid a_0,\ n\mid b_0\)后，由上面证明的结论知道，第一行最多能得到\(n\)个值，分别是\(\{m\cdot s:s\in\mathbb{N},\ s<n\}\)；同理第一列最多能得到\(m\)个值，分别是\(\{n\cdot t:t\in\mathbb{N},\ t<m\}\)。要使这些值最多有一个重合的（即\(a_0\cdot b_0\bmod{(m\cdot n)}\)），必须使

\[\gcd(m,n)=1 \]

即\(m,n\)互质。

充分条件

下面证明\(m,n\)互质时必有解。只需构造出一组解即可。

考虑线性构造，即

\[a_i=(m\cdot i+u)\bmod{(m\cdot n)},\\ b_j=(n\cdot j+v)\bmod{(m\cdot n)}, \]

要求对于任意\(i_0,i_1,j_0,j_1\in\mathbb{N},\ i_0<i_1<m,\ j_0<j_1<n\)，都有

\[a_{i_0}\cdot b_{j_0}\not\equiv a_{i_1}\cdot b_{j_1}\pmod{(m\cdot n)}, \]

展开合并化简得

\[m\cdot v(i_1-i_0)+n\cdot u(j_1-j_0)\not\equiv0\pmod{(m\cdot n)}, \]

可以取

\[u=v=1. \]

于是

\[a_i=(m\cdot i+1)\bmod{(m\cdot n)},\\ b_j=(n\cdot j+1)\bmod{(m\cdot n)}. \]