集合论习题乱做

给定2个集合\(A\)和\(B\)，可以任意使用\(\cap\)、\(\cup\)、\(\\\)，可以任意使用\(A\)和\(B\)任意多次，最多可以得到多少本质不同的集合？对于给定n个集合的情况答案又是多少？

这个问题比较巧妙。2个集合的时候，我们最多可以把全集划分为4个区域，除\(\overline{A\cup B}\)外每个区域都可以单独地取到，并且可以相互并起来
那么最后的答案就是\(2^{4-1}=8\)，

推广一下，就是n个集合最多能将全集划分为\(2^n\)个互不相交的区域，且除了\(\overline{\cup{A_i}}\)外其余区域都是可以单独取到的，那么答案就是\(2^{2^n-1}\)

若只能使用\(\cup\)、\(\cap\)，其余条件同1，则答案又是多少？

同样我们仍然可以划分出\(2^n-1\)个区域，然而不同之处在于我们无法单独地取到每个最小部分。事实上这个问题等价于求一个\(\left\{0,1\right\}^n\mapsto \left\{0,1\right\}\)的映射\(f\)，且这个映射满足\(\forall x,y\in\left\{0,1\right\}^n,\ \ \ \ x\le y\Leftrightarrow f(x)\le f(y)\)。其中我们说\(x=\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\le y=(b_1,b_2,...,b_n)\)当且仅当\(\forall 1\le i\le n,\ \ \ a_i\le b_i\)

也就是说任意一个映射下，在\(\left\{0,1\right\}^n\)中必存在一个最大值（就是我们选择的一个结果），使得任意属于它的集合都被覆盖了。这个问题也叫\(n\)元单调boole函数计数

证明不相交开区间的任何族要么是有限的，要么是可数的

\(\forall l< r,\exists q\in\mathbb Q\ \ s.t. \ \ q\in\left(l,r\right)\) 做到这一点要用到选择公理

于是存在一个双射\(S\mapsto \mathbb Q\)，于是\(\left|S\right|\le\left|\mathbb Q\right|=\aleph_0\)

(a)证明平面上不相交的“8”字形至多有可数多个

注意到每个"8"的两个圆圈圈住了两个有理点（这一点要用到选择公理），并且每个"8"到有理点对的映射为单射（否则存在两个不同的"8"它们相交，与题意不符），于是\(|S|\le|\mathbb Q\times\mathbb Q|=\aleph_0\)

(b)证明平面上不相交的"Y"字形至多有可数多个

还不会，留坑。。

\(\mathbb R\)上的连续函数的cardinality是多少？

首先可以观察到\(f(x)=c\)这样的常数函数是连续的，故连续函数的cardinality至少为\(\aleph_1\)

然后由连续函数的定义可知，\(\forall x\in \mathbb R\)，都\(\exists \left\{f(a_1),f(a_2),f(a_3),\dots\right\}\)使得\(f\left({\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_n}}\right)=f(x)\)，其中\(\forall n\in \mathbb N\)都有\(a_n\in \mathbb Q\)

即我们可以用可数个有理数，通过极限运算得到任意的实数。故连续函数的cardinality至多为\({\aleph_0}^{\aleph_0}=\aleph_1\)

记\([n]=\left\{\,1, 2\dots n\,\right\}\)，\(n\in \mathbb N\)，则求\(|[1]\times [2]\times [3]\dots|\)

考虑这么一个映射\(f:\vec x\mapsto a\)，其中\(a\)是一个二进制数，\(a\)的第\(k_i\)位为\(1\)，这里\(k_i=\sum\limits_{j=1}^{i}\vec x[i]\)

容易验证这是一个单射，且把\(S=[1]\times[2]\times[3]\dots\)映射到\(\mathbb N\)，故所求基数为\(\aleph_0\)

证明：自然数 \(1,2,3\ldots n^2+1\) 的任意排列都存在长度至少为 \(n+1\) 的严格递增或严格递减序列

由反证法，假设 \(1,2,3\ldots n^2+1\) 的任意排列都不存在长度至少为 \(n+1\) 的严格递增或严格递减序列，则严格递增或严格递减数列的长度至多为 \(n\)。此时记 \((u_i,d_i)\) 分别表示以第 \(i\) 个数为起点的最长严格递增/严格递减序列的长度，则根据上面的假设，\(\forall 1\leqslant i\leqslant n\) 都有 \(1\leqslant u_i,d_i\leqslant n\)

于是不相同的 \((u_i,d_i)\) 二元组至多有 \(n\times n=n^2\) 个

而总共有 \(n^2+1\) 个两两不同的自然数，也就是有 \(n^2+1\) 个位置，根据鸽笼原理其中必然有两个位置，它们对应的二元组相等

即 \(\exists i<j\) 使得 \(a_i\neq a_j\) 且 \((u_i,d_i)=(u_j,d_j)\)

若 \(a_i<a_j\)，则我们把 \(a_i\) 和以 \(a_j\) 为起点的最长严格递增序列放在一起，这样就形成了一个更长的严格递增序列，这和 \(u_i\) 的定义矛盾；

同理若 \(a_i>a_j\)，我们把 \(a_i\) 和以 \(a_j\) 为起点的最长严格递减序列放在一起，这样就形成了一个更长的严格递减序列，这和 \(d_i\) 的定义矛盾；

因此无论如何都会产生矛盾，即假设不成立，存在长度至少为 \(n+1\) 的严格递增或严格递减序列。