SICP 作业2.5

初探

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九乡河文理学院开设了SICP这门课，但很显然我是抢不到也上不了的，因此只能自己写写作业看PPT了。考虑到另一边导论实验的程设比较简单，感觉双开也是没问题的。所幸课程有对应开放的oj，我的部分作业经过测试后也就有了一定的可信度。具体的课程文件可以在cs61a找到，毕竟这门课也是我校搬过来的。。

先说函数式编程是什么。与面向过程、面向对象的程序设计不同，函数式编程几乎不存在变量的概念，而只有常量，程序的主体也由函数构成，函数在这里甚至可以代替变量作为输入、输出，也就有了“函数的函数”的概念。

Church numerals

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逻辑学家Church发明了一个仅用函数来表示自然数的运算系统，其中各种函数唯一对应了一个自然数，且他们之间可以作加、乘、乘方（其实都是加法的拓展）

题目给了初始的一段代码定义系统中的两个函数zero 和 successor，他们长这样

def zero(f):
	return lambda x: x

def successor(n):
	return lambda f: lambda x: f(n(f)(x))

考虑zero的含义，zero定义了一个函数，它会返回一个单位映射。

观察successor(zero)，我们可以发现它会返回一个函数f(g)，这个函数会返回参数g表示的函数。也就是f(g)(x)=g(x)，根据定义这就是one

再看successor(one)，不难得到two就是f(g)=g(g(x))这个函数，也就是给定一个函数，我们会把它嵌套两次

于是第一题就很明显了，one(f)=lambda x: f(x)，two(f)=lambda x: f(f(x))

然后考虑转成数字的问题。以数字four为例子，four(f)=f(f(f(f(x))))，我们现在的任务就是找到一个合适的函数f，使得f(f(f(f(x))))=4。很快就能想到如果我们令f(x)=x+1，则four(f)(0)=f(f(f(f(0))))=0+1+1+1+1=4，简单归纳可以知道这样是符合全体正整数的

然后考虑a+b的问题。考虑到successor(x)就是把x再套一个f，那么我们可以简单地改写

def add(n, m):
    return lambda f: lambda x: m(f)(n(f)(x))

这段代码是什么意思呢？也就是当输入的函数为f时，我们会先把f嵌套n次，再拿这个结果作为f嵌套m次后形成的函数的自变量，这样得到的才是n+m。如果我们将嵌套了n次的f作为自变量输入m这个函数，那么得到的就是n*m。这一段很重要，要好好理解

对于乘方a^b，我们只要把a这个函数套b次就可以了，实际上就是将b作为f丢进a中

scheme

又写了一个scm的，大意是一样的

(define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))
(define (add-1 n) (lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))

(define one (lambda (f) (lambda (x) (f x))))
(define two (lambda (f) (lambda (x) (f (f x)))))
(define (add n m) (lambda (f) (lambda (x) ((n f) ((m f) x)))))
(define (mul n m) (lambda (f) (lambda (x) ((n (m f)) x))))
(define (pow n m) (lambda (f) (lambda (x) (((m n) f) x))))