时间复杂度的计算

1.算法的效率

　　两个维度

　　　　时间复杂度 ：评估执行程序所需的时间。可以估算出程序对处理器的使用程度。

　　　　空间复杂度 ： 评估执行程序所需的存储空间。可以估算出程序对计算机内存的使用程度。

2.时间复杂度

　　时间频度 一个算法的执行时间与语句执行次数成正比，一个算法中语句执行的次数称为语句频度或者是时间频度。记为 T(n)

　　时间复杂度 　

　　　　前面提到的时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道

　　它变化时呈现什么规律，为此我们引入时间复杂度的概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n

　　的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称

　　f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。　　

　

3.大O表示法

　　像前面用O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O表示法。

　　推导大O阶 
　　推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法： 
　　1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。 
　　2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 
　　3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

　　常数阶
先举了例子，如下所示。

  int sum = 0,n = 100; //执行一次  
  sum = (1+n)*n/2; //执行一次  
  System.out.println (sum); //执行一次 

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。如果sum = （1+n）*n/2这条语句再执行10遍，因为这与问题大小n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，我们可以称之为常数阶。

线性阶
线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。

对数阶
接着看如下代码：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

平方阶
下面的代码是循环嵌套：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         //复杂度为O(1)的算法
         ...
      }
  }

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。
接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=i;j<n;i++){
         //复杂度为O(1)的算法
         ...
      }
  }

需要注意的是内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，我们可以推算出总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，因此保留n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

其他常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度：
f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，可以称为nlogn阶。
f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，可以称为立方阶。
f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，可以称为指数阶。
f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，可以称为阶乘阶。
f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，可以称为平方根阶。
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