逆序对数列-dp前缀和优化

逆序对数列-dp前缀和优化

逆序对数列
加强版+数学

思路

如果按位置来 dp ，显然不方便转移，发现我们插入一个数之后，才会有不同的个数产生。我们考虑从 \(1\) 到 \(n\) 不断插入，我们产生的个数就是从 \(0\) 到 \(i\) ，设计状态 \(dp[i][j]\) 表示插入 \(i\) 之后，产生的逆序对数为 \(j\) 的个数，它的转移有 \(dp[i][j]=dp[i-1][j-k] | k \leq i\) 发现 \(j\) 可能比 \(i\) 小，这时候的转移就是 $\sum_{k \leq j} dp[i-1][k] $

此时时间复杂度为 \(O(n^3)\) 显然会 TLE，发现这个 \(\sum\) 可以前缀和优化，得到 \(O(nk)\) 。至于再优化。。之后再说吧。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
constexpr int maxn = 1e3+10;
constexpr int mod = 1e4;

int n,k;
int dp[maxn][maxn];
int sum[maxn];// i-1 的前缀和

signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("cjdl.in","r",stdin);
    freopen("cjdl.out","w",stdout);
    #endif // ONLINE_JUDGE

    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    dp[0][0]=1;// 0 个逆序对的可能为1
    for(int i=0;i<=k;++i)// 0 对应的前缀和
    {
        sum[i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=0;j<=k;++j)
        {
            if(j>=i)
            {
                dp[i][j]=(sum[j]-sum[j-i]+mod)%mod;
            }
            else
            {
                dp[i][j]=sum[j];
            }
        }
        sum[0]=dp[i][0];
        for(int j=1;j<=k;++j)// 前缀和
        {
            sum[j]=(dp[i][j]+sum[j-1])%mod;
        }
    }

    printf("%lld\n",dp[n][k]);

    return 0;
}