[知识点] 8.4 拓扑排序与关键路径

总目录 > 8 图论 > 8.4 拓扑排序与关键路径

前言

想起当年参加 CTSC 时 DP 王 Zed 用拓扑序 DP 过了一道题直接一飞冲天，而一旁的蒟蒻拿了个 10 分 gg。

子目录列表

1、DAG 与 AOV 网

2、拓扑排序

3、AOE 网与关键路径

 

8.4 拓扑排序与关键路径

1、DAG 与 AOV 网

一个无环的有向图被称作有向无环图（DAG，Directed Acycline Graph）。它不同于有向树，DAG 将有向边改成无向边后可以出现环，而有向树不行。

DAG 应用广泛，除了在动态规划中提到了 4.4  树形 / DAG / 数位 DP ，它往往是描述一项工程或系统进行过程的有效工具。所有的大型工程（Project）都可以被划分为若干个子工程，这些子工程被称作活动（Activity）。在整个工程中，有些活动必须在其他相关活动完成后才能开始，也就是说，一个活动的开始是以其所有前序活动的完工为先决条件。部分活动没有先决条件，则可以随时开始。人们关心这个工程是否能够顺利进行，如果能，如何安排工程完成的先后顺序使得所花费时间最短，而 DAG 正是形象反映出整个工程的活动之间的约束关系的最佳选择。

以顶点表示活动，有向边表示活动之间的约束关系，这样的 DAG 被称作顶点活动网（AOV 网，Activity On Vertex Network）。

 

2、拓扑排序

① 定义

根据上述对 AOV 网的定义，我们先来举个例子。

杰克对计算机很感兴趣，进入大学后他如愿以偿地进修计科专业。学校发给他一份培养方案，上面写满了各种课程：

课程代号  课程名称            先修课程
C1            高等数学            无
C2            C 程序设计        无
C3            离散数学            C1, C2
C4            数据结构            C3, C5
C5            C++ 程序设计    C2
C6            编译技术            C4, C5
C7            操作系统            C4, C9
C8            大学物理            C1
C9            计算机组成        C8

杰克表示头都晕了，他想理清楚这些课程的关系。这时候，使用一张 AOV 网来展示：

一下子就变得清晰起来 —— 他需要先上 C1 高等数学 和 C2 C语言设计 两门课程，而后 C3 离散数学，C5 C++程序设计，C8 大学物理 就可以上了；以此类推，最后上 C7 操作系统，C6 编译技术。

AOV 网为什么是 DAG 图？如果出现了环，对于课程的选择则必然出现问题：假设 C1 是 C8 的前序课程，而 C8 又是 C1 的前序课程，那么两门课上课的先后顺序则无法确定，导致整个课程学习无法完成。这种情况如果出现在工程中，则称为死锁或死循环，是必须要避免的。

杰克整理好了他的上课顺序，为：

{C1, C2, C3, C8, C5, C4, C9, C7, C6}

根据 AOV 网求得的这样的序列，我们称之为拓扑序（Topological order）。构造拓扑序的这个过程，称之为拓扑排序（Topological sort）。

② 性质

注意到，比如刚开学时，杰克可以选择先上 C1 再上 C2，反之同样可以；学完了 C1 和 C2，杰克可以先上 C3 也可以先上 C8……也就是说，拓扑序列并不具有唯一性。

通过归纳证明，容易得到如下推理：

图能进行拓扑排序的充分必要条件是该图为 DAG。两者为等价关系。判定一个图是否为 DAG，检验它能否进行拓扑排序即可。

③ Kahn 算法

Kahn 算法用于实现拓扑排序。预处理出所有结点的入度，将入度为 0 的结点加入集合 S，每次从 S 中取出任意一个顶点 u 并保存到数组 ans，遍历以 u 为起点的所有边，并将对应终点的入度减 1，如果减到了 0，则加入集合 S，不断重复，直到所有顶点输出完毕。ans 数组最终的结果即拓扑序。

Kahn 算法使用队列实现。

④ 例题与代码

AOV 网在生活中还是很常见的，课程之间的关系，组件之间的依赖关系，工程的先后顺序等等。下面还给出一道例题：

【例题】【士兵排队】

有 n 名士兵（1 <= n <= 100），编号依次为 1, 2, 3, ..., n。进行队列训练时，指挥官要把一些士兵从高到矮依次排成一行，但现在指挥官不能直接获得每个士兵的身高信息，只能获得“P1 比 P2 高”这样的比较结果（P1, P2 ∈ {1, 2, ..., n}，记为 P1 > P2），如“A > B”表示 A 比 B 高。编一程序，根据所得到的比较结果求出符合条件的排队方案。注：比较结果中没有涉及到的士兵不参加排队。

例如，设有3个士兵 1, 2, 3，给出关系 (1, 2), (2, 3)。其中 (1, 2) 表示士兵 1 高于 2，当上面的关系给出之后，可以将他们排成一队：123。

输入：第一行两个正整数 n, m，接下来 m 行中每行两个整数 x, y，表示士兵 x 比士兵 y 高。

输出：从高到矮依次输出每一个士兵的编号，如果没有答案输出 -1。

 

根据身高关系直接构建 AOV 网，使用 Kahn 算法求出拓扑序，即最终答案。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAXN 105
#define MAXM 205

int n, m, u, v, a[MAXN], tot, h[MAXN], q[MAXN];

class Edge {
public:
    int v, nxt;
} e[MAXM];

void add(int u, int v) {
    tot++, e[tot] = (Edge) {v, h[u]}, h[u] = tot;
    a[v]++;
}

void Kahn() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (!a[i]) q[tail++] = i;
    int head = 1, tail = 1;
    while (head != tail) {
        int o = q[head];
        for (int x = h[o]; x; x = e[x].nxt) 
            if (!--a[e[x].v]) q[tail++] = e[x].v;
        head++;
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> u >> v, add(u, v);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << q[i] << ' ';
    return 0;
}

 

3、AOE 网与关键路径

① AOE 网

与 AOV 网相对应的是 AOE 网（Activity On Edge Network），即边表示活动的网。AOE 网是赋权 DAG 图，顶点表示事件（Event），弧表示活动，权表示活动持续的时间。通常，AOE 网是用来估算工程的完成时间。

与 AOV 网不同的是，AOE 网必然只有一个入度为 0 的点（起点）和一个出度为 0 的点（终点）。从起点出发，各个活动可以并行进行，所以完成工程的最短时间是从起点到终点的最长路径的长度。这条最长的路径称之为关键路径。

② 关键路径

假设开始点为 u，从 u 到结点 vi 的最长路径长度叫做事件 vi 的最早发生时间。这个时间决定了所有以事件 vi 为标志而可以开始进行的活动的最早发生时间。对于活动 ai，其最早发生时间用 ei 表示。在不推迟整个工程完成进度的前提，即不出现没有活动正在进行的情况，活动 ai 的最迟发生时间用 li 表示。li 和 ei 的差值为活动 ai 的时间余量。时间余量为 0 的活动被称作关键活动。关键路径上的所有活动均为关键活动。

也就是说，非关键活动的进度的提前与延后（在 [ei, li] 内），其实对整个工程的进度是没有影响的。所以，分析这种工程的关键在于找到关键活动，即找到 ei = li 的 ai，以提高工效，缩短工期。

③ 实现

在 Kahn 算法求出拓扑序的基础上，增加一个拓扑序结点栈，按照拓扑序搜索各个活动，及计算相应事件的最早 / 最迟开始时间。具体过程暂略。