[知识点] 7.2 哈希表
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前言
很久很久以前经常听到哈希这个词，后来多多少少有所接触，但并未系统地了解过哈希到底是怎么回事。
更新日志
20200804 - 进行部分调整，增加例子
子目录列表
1、哈希表与数组
2、哈希函数
3、构造哈希函数
4、哈希冲突
5、字符串 hash
6、应用
7.2 哈希表
1、哈希表与数组
哈希表（hash table），又称为散列表，是根据关键码值（key）直接进行访问的一种数据结构，也就是说，给定一个 key，则可以通过哈希表的映射关系快速找到其对应的值（value）。这听起来似乎和数组是一个意思 —— 对于数组 a = {2, 5, 8}，其元素 a[1] = 2, a[2] = 5, a[3] = 8，没错，数组本身就是一种 key-value 的对应关系，每个元素的编号为 key，值为 value —— 而哈希表在数组的基础上有什么改进？
2、哈希函数
给定一个哈希表，存在函数 f(key)，对任意给定的 key 值，通过代入这个函数就能得到包含该 key 的记录在表中的地址，则这个函数叫做哈希函数（hash function）。hash 的目的是让本来复杂的数据以简单的方式体现或访问，举个例子：给定 10 个同年同月同日同地出生的人的身份证号码，并为这些号码编一个号以便以后使用，比如：
a[320115********0105] = 1 a[320115********8577] = 2 ... a[320115********5201] = 10
显然，开一个 18 位数大小的数组是不现实的，我们决定将这些数进行 hash —— 由于这些号码前 14 位都是相同的，我们将这 18 位的 key 值取后 4 位来替换原 key 值进行各类操作，一下就变得现实起来了：
a[105] = 1 a[8577] = 2 ... a[5201] = 10
而后我们需要输出或其他情况时，把前 14 位还原即可。
所以，在生活中，我们常说的手机尾号便是手机号的哈希值，假设尾号为 4 位，其 hash 函数为 f(key) = key % 10 ^ 4；小明在学校的学号为 1810141728，而在班上提交作业时使用的学号为 28，本质是完整学号的哈希值，hash 函数为 f(key) = key % 100。
而对于普通的数组，可以理解成哈希函数为 f(key) = key。
那么，如何构造一个 hash 函数？有什么要求？
3、构造哈希函数
① 除留余数法
取 key 被某个不大于表长 m 的数取模后得到的余数作为 hash 值，即 f(key) = key % p。p 的取值非常关键，一般选择质数或者 m，能够降低错误率。
最为常用的构造法，因为我们使用哈希，最关键的原因就在于原值范围太大，难以存储与访问，那么最简单的就是取模以降低数据大小。比如上述学号与手机号的 hash 值便是使用的这种方法（也可以认为结合了数学分析法）。但更多情况下我们碰到的可能是没有太多可循规律的数据，模数的取值就没有限定了。
这里提供一些常用的质数模数：
1e9 + 7, 12255871, 16341163, 21788233, 29050993, 38734667, 51646229, 68861641, 91815541, 1e9 + 9
（看完下面的若干种构造法后也不难发现，除留余数法也是实现起来最简单的）
② 直接寻址法
取 key 或 key 的某个线性函数值作为 hash 值，即 f(key) = a * key + b。
构造方便，但适用范围不广。
举例：
小明统计这次高数考试成绩，每 10 分为一个分段。分数为 key，分数段人数为 value，则 hash 函数可以设定为 f(key) = 0.1 * key，通过 hash 使 key 范围缩小至 1 / 10。
③ 数学分析法
通过对 key 值的分析，找到最不可能出现冲突的构造方式，具体情况具体分析。
④ 平方取中法
求出 key 值的平方，取该平方值的中间几位作为 hash 值。听起来也是个比较玄学的构造方法，当然取最中间的数也是不无道理的 —— 它们和 key 的每一位都会相关，出现冲突的概率较低。由于存在平方操作，key 值不能过大。
举例：
key = 77777，key ^ 2 = 6049261729，f(key) 可以取 9261。
⑤ 折叠法
将 key 值按照数位平均切割为若干部分，求出每一部分各个数位之和，最后将这些和首尾相连，得到 f(key)。
举例：
key = 123456789，可以拆分成 123, 456, 789，分别求和为 6, 15, 24，再合并成 61524，即 f(key)。
⑥ 随机数法
选择一个随机函数，取随机值作为 hash 值，即 f(key) = random(key)。
随机大法好。
4、hash 冲突
在 2 中举的几个例子，10 个身份证号码的后 4 位理论上是不会有重复的；小明在班上交作业，班上也不会有和他一样尾号为 28 的；但对于手机尾号，假设张三的手机号为 155****1666，李四的手机号为 189****1666，那么他们在讨论手机号时，肯定不会用后 4 位尾号，因为并不能分清到底是谁的手机号，对于这种两个不同的原值通过哈希函数得到的 hash 值相同的情况，我们称之为 hash 冲突。
题目对于 hash 函数如何定义并无规定，上面给出的构造 hash 函数的方法任你选择，但显然，我们要保证不出现 hash 冲突的情况，或者尽可能少到忽略不计，即保证其 hash 结果的正确性。而正确性与空间占用往往是成反比的，其正确性越高，hash 值范围越大， 所占用的空间也就越大，所以我们需要在其中找到平衡点，选择最合适的 hash 函数。
而理论上，不论 hash 函数设计得对于契合，对于巧妙，只要数据范围和数据量够大，必然会出现 hash 冲突的情况，那么在遇到冲突时，有如下几种办法解决：
① 开放寻址法
对于 hash 函数 f(key) 和 key 值序列 k[i]，假设存在 f(k[1]) = f(k[i])，则将 f(k[i]) 重新构造为：
f(k[i]) = (f(k[i]) + d[i]) % m，m 为表长。
d[i] 可以取：
> 线性探测再哈希：d[i] = c * i，c 为常数
> 平方探测再哈希：d[i] = 1 ^ 2, -1 ^ 2, 2 ^ 2, -2 ^ 2...
要求表长 m 为 4 * j + 3 的质数
> 随机探测再哈希：d[i] 为一组伪随机数列
要求 m 和 d[i] 没有公因子
具体例子暂略。
② 挂链 / 链地址法
所有 hash 值视作一个链表，将所有生成该哈希值的 key 值链在所属链表中。查询时把对应 hash 值的整个链表遍历一遍，对比是否与查询的 key 值相等。
5、例子
【例子】给出 10 ^ 6 个数，数据范围为 [1, 10 ^ 9]，判定是否出现重复的数。
这里我们使用除留余数法构造 hash 表 + 挂链法解决冲突。
代码：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 #define MAXN 1000005 5 #define MOD 12255871 6 7 int n, h[MAXN], a[MAXN], nxt[MAXN]; 8 9 int main() { 10 cin >> n; 11 for (int i = 1; i <= n; i++) { 12 cin >> a[i]; 13 int x = a[i] % MOD; 14 if (!h[x]) h[x] = i; 15 else { 16 for (int o = h[x]; o; o = nxt[o]) 17 if (a[o] == a[i]) 18 cout << "yp", exit(0); 19 nxt[i] = h[x], h[x] = i; 20 } 21 } 22 cout << "nob"; 23 return 0; 24 }
h[i] 表示 hash 值为 i 链表头的数，nxt[i] 表示数值为 i 的数所在的链表的下一个数的数值。
5、字符串 hash
相比普通的 hash，字符串 hash 多了个字符串转整数的步骤。
详细参见：5.2 字符串 Hash
6、应用
密码 hash 函数（Cryptographic Hash Function），是 hash 函数的一种。它是单向函数，也就是说只能从 key 值计算出 hash 值，而很难由 hash 值破译出 key 值，所以可以用于加密，在密码学中使用广泛。
大名鼎鼎的 MD5 便是属于密码 hash 函数。MD5（Message-Digest Algorithm），中文名为信息摘要算法，一种被广泛使用的密码 hash 函数，用于对信息加密，同时保证信息传输完整一致。它在 1992 年公开，用以取代另一种加密算法 MD4。目前，MD5 被广泛用于密码管理，电子签名，垃圾邮件筛选，文件校验等，不过尽管它在 MD2/3/4 的基础上进行大量改进，其安全性并非坚不可摧，在 2004 年已经被证明存在弱点而能被破解，无法防止碰撞，所以不适用于更高级别的安全防护。
举个例子，之前很火的 P2P（Peer-to-peer）对等网络技术被应用于文件下载和共享时，下载软件对文件的识别便是使用的 MD5 值，每一个被上传和下载的文件有其独一无二的 MD5 值，相当于其身份牌，通过比较 MD5 值能轻松对文件进行识别和校验。
