数学笔记

高数

\(\sum\frac{x^n}{n}\)的收敛域与\(\sum\frac{1}{1-x}\)的有所区别，这是命题的一个点。例如2016年19题:

\[\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+2}}{(n+1)(2n+1)}} \]

2016年应用题（给的价格弹性为正）：

\[-\int \frac{dp}{120-p}=\ln(120-p) \]

$$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}{(\cdot)}$$ 上式中括号内若与 $n$ 有关，则不能用级数，应化为定积分（可把 $n$ 提出求和号，如 ${i^2}/{n^4}$ ）。 ## 可积和原函数存在的关系 可积（定积分存在，闭区间）；原函数（不定积分，开区间） 可积不一定存在原函数，原函数存在不一定可积，有可能既不可积也不存在原函数，也有可能既可积也有原函数（如连续函数）。  

线代

要注意正交变换矩阵和标准形的内在联系，即特征向量和特征值相对应。如 2015 年第 6 题
设二次型 \(f(x_1, x_2, x_3)\) 在正交变换 \(\textit{\textbf{x}}=\textit{\textbf{Py}}\) 下的标准形为 \(2y_1^2+y_2^2-y_3^2\)，其中 \(\textit{\textbf{P}}=(\textit{\textbf{e}}_1, \textit{\textbf{e}}_2, \textit{\textbf{e}}_3)\)。若 \(\textit{\textbf{Q}}=(\textit{\textbf{e}}_1, -\textit{\textbf{e}}_3, \textit{\textbf{e}}_2)\)，则 \(f(x_1, x_2, x_3)\) 在正交变换 \(\textit{\textbf{x}}=\textit{\textbf{Qy}}\) 下的标准形为 \(2y_1^2-y_2^2+y_3^2\)。
分块矩阵求逆：主顺时，副逆时，记得负号和负一。https://blog.csdn.net/ban_xc/article/details/51923877
由基础解系反推方程

这道题不熟：
\(\textit{\textbf{A}}\) 三阶，\(a_{ij}+A_{ij}=0\)，则 \(|\textit{\textbf{A}}|=-1\)
注意怎么解方程（不要用中学的方法解了）：
\(\textit{\textbf{A}}=\begin{bmatrix} 1 & a \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，\(\textit{\textbf{B}}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & b \end{bmatrix}\)。当 \(a\)，\(b\) 为何值时，存在矩阵 \(\textit{\textbf{C}}\) 使得 \(\textit{\textbf{AC}}-\textit{\textbf{CA}}=\textit{\textbf{B}}\)，并求所有矩阵 \(\textit{\textbf{C}}\)。

概率论

用期望来算积分：
随机变量 \(X\) 服从标准正态分布，则 \(E(Xe^{2X})=2e^2\)