排序算法杂谈（五） —— 关于快速排序的优化策略分析

1. 前提

排序算法（六） —— 归并排序

排序算法（七） —— 快速排序

排序算法杂谈（四） —— 快速排序的非递归实现

 

 

2. 优化策略1：主元（Pivot）的选取

归并排序（Merge Sort）有一个很大的优势，就是每一次的递归都能够将数组平均二分，从而大大减少了总递归的次数。

而快速排序（Quick Sort）在这一点上就做的很不好。

快速排序是通过选择一个主元，将整个数组划分（Partition）成两个部分，小于等于主元 and 大于等于主元。

这个过程对于数组的划分完全就是随机的，俗称看脸吃饭。

这个划分是越接近平均二分，那么这个划分就越是优秀；而若果不巧取到了数组的最大值或是最小值，那这次划分其实和没做没有什么区别。

 

因此，主元的选取，直接决定了一个快速排序的效率。

通过之前快速排序的学习，我们知道了基本上有两种主流的划分方式，我将其称之为：

• 挖坑取数
• 快慢指针

前者将最左侧的数作为主元，后者将最右侧的数作为主元，这种行为完全就是随机取数。

 

最简单的的方法，就是在范围内取一个随机数，但是这种方法从概率的角度上来说，和之前的没有区别。

进一步的思考，可以从范围内随机取出三个数字，找到三个数字的中位数，然后和原主元的位置进行交换。

将中位数作为主元，相比于随机取出的另外两个数字，对于划分的影响还是很明显的。

 

package com.gerrard.sort.compare.quick.partition.pivot;

import com.gerrard.util.RandomHelper;

public final class MediumPivot implements Pivot {

    @Override
    public int getPivotIndex(int[] array, int left, int right) {
        int index1 = RandomHelper.randomBetween(left, right);
        int index2 = RandomHelper.randomBetween(left, right);
        int index3 = RandomHelper.randomBetween(left, right);
        if (array[index1] > array[index2]) {
            if (array[index2] > array[index3]) {
                return index2;
            } else {
                return array[index1] > array[index3] ? index3 : index1;
            }
        } else {
            if (array[index1] > array[index3]) {
                return index3;
            } else {
                return array[index2] > array[index3] ? index3 : index2;
            }
        }
    }
}

 

 

3. 优化策略2：阈值的选取

同样是参考归并排序的优化策略，归并排序可以通过判断数组的长度，设定一个阈值。

数组长度大于阈值的，使用归并排序策略。

数组长度小于阈值的，使用直接插入排序。

通过这种方式，归并排序避免了针对小数组时候的递归（递归层次增加最多的场景，就是大量的小数组），从而减轻了JVM的负担。

 

public class OptimizedQuickSort implements Sort {

    private ThreeWayPartition partitionSolution = new ThreeWayPartition();
    private int threshold = 2 << 4;

    public void setPartitionSolution(ThreeWayPartition partitionSolution) {
        this.partitionSolution = partitionSolution;
    }

    public void setThreshold(int threshold) {
        this.threshold = threshold;
    }

    @Override
    public void sort(int[] array) {
        sort(array, 0, array.length - 1);
    }

    private void sort(int[] array, int left, int right) {
        if (right - left < threshold) {
            insertionSort(array, left, right);
        } else if (left < right) {
            int[] partitions = partitionSolution.partition(array, left, right);
            sort(array, left, partitions[0] - 1);
            sort(array, partitions[1] + 1, right);
        }
    }

    private void insertionSort(int[] array, int startIndex, int endIndex) {
        for (int i = startIndex + 1; i <= endIndex; ++i) {
            int cur = array[i];
            boolean flag = false;
            for (int j = i - 1; j > -1; --j) {
                if (cur < array[j]) {
                    array[j + 1] = array[j];
                } else {
                    array[j + 1] = cur;
                    flag = true;
                    break;
                }
            }
            if (!flag) {
                array[0] = cur;
            }
        }
    }
}

 

 

4. 优化策略3：三路划分

从上面的代码中，我们可以看到一个 ThreeWayPartition，这就是现在要讲的三路划分。

回顾之前的快速排序划分的描述：

快速排序是通过选择一个主元，将整个数组划分成两个部分，小于等于主元 and 大于等于主元。

 

不难发现，一次划分之后，我们将原数组划分成了三个部分，小于等于主元 and 主元 and 大于等于主元，划分结束之后，再将主元两侧进行递归。

由此可见，等于主元的部分被划分到了三个部分，那么我们就有了这样的思考：

能不能将数组明确地划分成三个部分：小于主元 and 主元和等于主元 and 大于主元。

这样一来，等于主元的部分就直接从下一次的递归中去除了。

 

回看一下 “挖坑取数” 的代码：

    @Override
    public int partition(int[] array, int left, int right) {
        int pivot = array[left];
        int i = left;
        int j = right + 1;
        boolean forward = false;
        while (i < j) {
            while (forward && array[++i] <= pivot && i < j) ;
            while (!forward && array[--j] >= pivot && i < j) ;
            ArrayHelper.swap(array, i, j);
            forward ^= true;
        }
        return j;
    }

 

在内循环中，我们的判断条件是： array[++i] <= pivot。

在这个基础上，再做一次判断，针对等于 pivot 的情况，将等于 pivot 的值，与一个已经遍历过的位置交换：

• 从左往右找大于 pivot 的值时，与数组开头部分交换。
• 从右往左找小于 pivot 的值时，与数组结束部分交换。

 

那么，在整个划分结束之后，我们会得到这么一个数据模型：

其中：

• 等于 pivot：[left,p) & i & (q,right]
• 小于 pivot：[p,i)
• 大于 pivot：(j,q]

然后将 left->p 的数据依次交换到 i 的左侧，同理，将q->right 的数据依次交换到 j 的右侧。

这样我们就能得到整个数组关于 pivot 的严格大小关系：

• 等于 pivot：[p',q']
• 小于 pivot：[left,p')
• 大于 pivot：(q',right]

 

package com.gerrard.sort.compare.quick.partition;

import com.gerrard.sort.compare.quick.partition.pivot.Pivot;
import com.gerrard.util.ArrayHelper;

/**
 * Three-Way-partition is an optimized solution for partition, also with complexity O(n).
 * It directly separate the original array into three parts: smaller than pivot, equal to pivot, larger than pivot.
 * It extends {@link SandwichPartition} solution.
 *
 * Step1: Select the left one as pivot.
 * Step2: Besides i and j, define two more index p and q as two sides index.
 * Step3: Work as SandwichPartition, from sides->middle, the only difference is:
 *        when meeting equal to pivot scenario, swap i and p or j and q.
 *
 * Step4: After iterator ends, the array should look like:
 *
 *        left                   i=j                     right
 *        ---------------------------------------------------
 *        |     |           |     |     |               |   |
 *        ---------------------------------------------------
 *              p           p'          q'              q
 *
 *        The distance between left->p and p'->i should be same.
 *        The distance between j->q' and q->right should also be same.
 *        [left,p) and (q,right] is equal to pivot, [p,i) is smaller than pivot, (j,q] is larger than pivot.
 *
 * Step5: Exchange [left,p) and [p',i), exchange (q,right] and (j,q'].
 * Step6: Returns two number p'-1 and q'+1.
 *
 */
public final class ThreeWayPartition {

    public int[] partition(int[] array, int left, int right) {
        if (pivotSolution != null) {
            int newPivot = pivotSolution.getPivotIndex(array, left, right);
            ArrayHelper.swap(array, left, newPivot);
        }
        int pivot = array[left];
        int i = left;
        int j = right + 1;
        int p = i;
        int q = j - 1;
        boolean forward = false;
        while (i < j) {
            while (forward && array[++i] <= pivot && i < j) {
                if (array[i] == pivot) {
                    ArrayHelper.swap(array, i, p++);
                }
            }
            while (!forward && array[--j] >= pivot && i < j) {
                if (array[j] == pivot) {
                    ArrayHelper.swap(array, j, q--);
                }
            }
            ArrayHelper.swap(array, i, j);
            forward ^= true;
        }
        while (p > left) {
            ArrayHelper.swap(array, --p, --i);
        }
        while (q < right) {
            ArrayHelper.swap(array, ++q, ++j);
        }
        return new int[]{i, j};
    }
}

 

 

5. 优化测试

最后，针对各种快速排序的算法，我做了一系列的性能测试：

package com.gerrard.helper;

import com.gerrard.sort.Sort;

public final class ComparableTestHelper {

    private ComparableTestHelper() {

    }

    public static void printCompareResult(int[] array, Sort... sorts) {
        for (Sort sort : sorts) {
            int[] copyArray = ArrayTestHelper.copyArray(array);
            long t1 = System.nanoTime();
            sort.sort(copyArray);
            long t2 = System.nanoTime();
            double timeInSeconds = (t2 - t1) / Math.pow(10, 9);
            System.out.println("Algorithm " + sort + ", using " + timeInSeconds + " seconds");
        }
    }
}

 

测试结果：

 

 从测试结果中，我们可以发现：

• 取原来的主元，和用随机数做主元，对于性能的影响完全是随机的。
• 取中位数做主元，对于性能有着比较明显的提高。
• 增加阈值，对于性能也有提高，但是阈值选取的数值，还有待深一步的研究。
• 三路快排，在数组区间较小的情况，对于性能的影响是显著的，但是数组区间较大时，对于性能有一定的影响。
• 递归转迭代的方式，能规避StackOverFlow的情况。

 

但是还有几个比较奇怪的现象：

• 快速排序，对于数组内部有很多数字相等的情况，处理情况不佳。
• 快慢指针的方式，对于数字相等的情况，效率降低明显。
• 挖坑填数的方式，比快慢指针的方式，更容易出现StackOverFlow的情况，而快慢指针似乎通过了某种时间为代价的方式，规避了这种情况。

 

希望有读者能够解惑这些现象。