一类可以转化成有向图上博弈的问题

概述

定义基本规则：

• 两个玩家轮流移动同一颗棋子。

• 每次移动沿一条出边将棋子移到下一个点。

• 当前玩家走不了（没有出边）时输。

• 图可能有环，游戏无法结束时为平局。

出现平局的根本原因是决策会绕起来成环。我们先来解决如何判断一个点的胜负状态。

首先，如果图是 \(\text{DAG}\)，则有经典做法：

• 没有出边的点先手必败。

• 出边中能走到先手必败点的点先手必胜。

• 所有出边走到的都是先手必胜点的点先手必败。

然后有了环，先给出结论：只需加上这一条即可：

• 建反图，由已知状态倒推，不满足上述任意一种情况的点即为平局。

考虑证明。将不满足前三种情况的点称为“状态未知”。

若当前在一个状态未知的点，它一定不满足前三种情况。于是这个点必然满足：出边到达的点中有一些先手必胜，另外的状态未知且存在至少一个这样的点。

这样，当前玩家为了不败，一定不会走那些先手必胜的点，而走向状态未知的点。如此下来，棋子所在的位置永远是状态未知的点，因此游戏不会结束，即为平局。

具体做法是建反图然后 bfs，然后根据当前点的状态与上述规则进行转移。

例题

• 1. [ABC209E] Shiritori

一个单词可看作是一条边，代表前三个字母的状态走向后三个字母的状态。

比如 abcdef 就是 abc 走向 def。

直接运用上述做法，转化成起点是起始单词的后三个字母，Aoki 先手的游戏。

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• 2. [ABC261Ex] Game on Graph

略微修改一下“胜负”的定义，改为“游戏是否会结束”。

定义 \(end[u][0/1]\) 表示 Takahashi/Aoki 在 \(u\) 是游戏是否会结束。

对于 \(u\) 来说，显然有：

• 若 \(\forall u \to v,end[v][0]= Ture\)，则 \(end[u][1]=Ture\)。

• 若 \(\exist u \to v,end[v][1]= Ture\)，则 \(end[u][0]=Ture\)。

亦可用上述方法得到 \(end\) 数组，证明不难。

然后是求以每个点开始游戏时结束后的值 \(dp[u][0/1]\)，表示 Takahashi/Aoki 在 \(u\) 是游戏结束后的值。

则有:

\[dp[u][0]=\min_{u\to v}dp[v][1]+w[u\to v] \]

\[dp[u][1]=\max_{u\to v}dp[v][0]+w[u\to v] \]

而在用上面方法的时候，\(dp[u][0]\) 的转移会出现一些问题，用普通队列无法保证用到 \(dp[u][0]\) 时它的最优性。

而转移顺序对 \(dp[u][1]\) 没有影响，因为根据上面的做法，只有当所有 \(u\) 的出边遍历到以后 \(u\) 才会入队。因此考虑使用优先队列（小根堆），保证第一次转移到 \(dp[u][0]\) 时就是最小的。

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• 3. P9169 [省选联考 2023] 过河卒

胜负状态与平局都很明确，直接做就行了。

状态有 \(O(n^6)\)，表示三个棋子分别在什么位置。

具体地，\(dp[x1][y1][x2][y2][x3][y3][0/1]\) 表示红棋在 \((x1,y1),(x2,y2)\)，黑棋在 \((x3,y3)\)，当前红/黑走时的答案（包含是否必胜与步数）。

与上文一样，而此题边权都是 1，相当于保证了直接用 queue 的正确性（先转移步数少的）。可以与上一题类比成边权为 1 和边权大于 1 的最短路。

轻微卡常，可以把红棋有序变无序，状态数压一半。

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