偏度和峰度的计算

偏度(skewness)和峰度(kurtosis):

  偏度能够反应分布的对称情况,右偏(也叫正偏),在图像上表现为数据右边脱了一个长长的尾巴,这时大多数值分布在左侧,有一小部分值分布在右侧。

  峰度反应的是图像的尖锐程度:峰度越大,表现在图像上面是中心点越尖锐。在相同方差的情况下,中间一大部分的值方差都很小,为了达到和正太分布方差相同的目的,必须有一些值离中心点越远,所以这就是所说的“厚尾”,反应的是异常点增多这一现象。

 

偏度的定义:

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样本X的偏度为样本的三阶标准矩

其中$\mu$是均值,$\delta$为标准差,E是均值操作。$\mu_3$是三阶中心距,$\kappa_t $是$t^{th}$累积量

 

偏度可以由三阶原点矩来进行表示:

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样本偏度的计算方法:

一个容量为n的数据,一个典型的偏度计算方法如下:

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其中$\bar x$为样本的均值(和$\mu$的区别是,$\mu$是整体的均值,$\bar x$为样本的均值)。s是样本的标准差,$m_3$是样本的3阶中心距。

另外一种定义如下:

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$k_3$是三阶累积量$\kappa_3$的唯一对称无偏估计(unique symmetric unbiased estimator)($k_3$ 和 $\kappa_3$写法不一样)。$k_2=s^2$是二阶累积量的对称无偏估计。

大多数软件当中使用$G_1$来计算skew,如Excel,Minitab,SAS和SPSS。

 

峰度的定义:

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  峰度定义为四阶标准矩,可以看出来和上面偏度的定义非常的像,只不过前者是三阶的。

 

样本的峰度计算方法:

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样本的峰度还可以这样计算:

 

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其中$k_4$是四阶累积量的唯一对称无偏估计,$k_2$是二阶累积量的无偏估计(等同于样本方差),$m_4$是样本四阶平均距,$m_2$是样本二阶平均距。

同样,大多数程序都是采用$G_2$来计算峰度。

 

python使用pandas来计算偏度和峰度

import pandas as pd
x = [53, 61, 49, 66, 78, 47]
s = pd.Series(x)
print(s.skew())
print(s.kurt())

它是用上面的$G_1$来计算偏度  $G_2$来计算峰度,结果如下:

0.7826325504212567
-0.2631655441038463

 

参考:

    偏度和峰度如何影响您的分布

    Skewness 维基百科给出了偏差的计算公式

   Kurtosis  维基百科给出峰度的计算公式

posted @ 2018-05-02 10:42  小舔哥  阅读(81057)  评论(0编辑  收藏  举报