Dynamic Programming | Set 2 (Optimal Substructure Property)

正如我们在 Dynamic Programming | Set 1 (Overlapping Subproblems Property) 中讨论的那样,当一个问题具有以下2种性质时,建议使用动态规划来求解:

1 重叠子问题(Overlapping Subproblems)

2 最优子结构(Optimal Substructure)

我们已经在 Dynamic Programming | Set 1 (Overlapping Subproblems Property) 中讨论了重叠子问题,现在我们接着讨论最优子结构性质。

2 最优子结构(Optimal Substructure)

如果所求问题的最优解,可以通过其子问题的最优解获得,那么我们称该问题具有最优子结构性质。例如,最短路问题具有如下的最优子结构性质:如果节点x在源节点u到目标节点v的最短路径上,那么从u到v的最短路径,将由u到x的最短路径和x到v的最短路径组成。类似 Floyd–Warshall 以及 Bellman–Ford 的 standard All Pair Shortest Path algorithms 均是动态规划的典型例子。

另一方面,最长路径问题不具备最优子结构性质。此处的最长路径指 longest simple path(path without cycle)。考虑如下的无权图:

image

从q到t有两条最长路径:q->r->t 以及 q->s->t。与最短路径不同的是,这些最长路径并不具备最优子结构性质。举例来说,q->r->t的最长路径,并非由q到r的最长路径和r到t的最长路径组合而得,因为从q到r的最长路径是q->s->t->r。

posted @ 2015-06-18 21:04  Acjx  阅读(405)  评论(0编辑  收藏  举报