加法图灵机
图灵机的简介
1936年 A.M.Turing 发表了一篇论文[1]，其中给出了一种在机器上自动运算的计算模型，由此开创了“自动机”这一学科分支。通用图灵机向人们展示这样一个过程:程序和其输入可以先保存到存储带上，图灵机就按程序一步一步运行直到给出结果，结果也保存在存储带上。更重要的是，隐约可以看到现代计算机主要构成，尤其是冯・诺依曼理论的主要构成[2]。
图1 图灵机的概念图
简单的16位加法图灵机
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
如上所示：3+2的表示。
简单的加法图灵机
计算3+2；
- 3+2在纸带上的数据是：0,000,001,110,110,000。以1的个数表示数值，0隔开加数和被加数。
- 两位寄存器保存当前状态，控制规则（命令）如下：
- 00,0→00,0R； 00,1→01,1R； 01,0→10,1R； 01,1→01,1R；
- 10,0→11,0L； 10,1→10,1R； 11,0→E； 11,1→00,0S。
- 3+2的运算过程：
表1 3+2加法图灵机运算步骤表
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步数 |
状态 |
纸带 |
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1 |
00 |
0000001110110000 |
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2 |
00 |
0000001110110000 |
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3 |
00 |
0000001110110000 |
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4 |
00 |
0000001110110000 |
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5 |
00 |
0000001110110000 |
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6 |
00 |
0000001110110000 |
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7 |
00 |
0000001110110000 |
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8 |
01 |
0000001110110000 |
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9 |
01 |
0000001110110000 |
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10 |
01 |
0000001110110000 |
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11 |
10 |
0000001111110000 |
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12 |
10 |
0000001111110000 |
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13 |
10 |
0000001111110000 |
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14 |
11 |
0000001111110000 |
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15 |
00 |
0000001111000000 |
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--停机-- |
- 注意：
- 11,0 → E 控制规则。
- 11,1 → 00,0S 控制规则。
- 图灵机停机问题，能否给出一个判断任意一个图灵机是否停机的一般方法？
C/C++代码如下：
#include <cstdio> #define Max 16 int main() { int num[Max]; // 纸带 int state[3]={0,0,0}; // 初始状态00 int sum=0 , step=0; // 和；步数 for(int i=0; i<Max; i++) { scanf("%d",&num[i]); if(num[i] > 1 || num[i] < 0) // 只能输入0和1 { printf("输入有误！请重新输入：\n"); i=i-1; } } printf("\n-----------------------开始---------------------------\n"); // 图灵机开始扫描 for(int i=0; i<Max; i++) { state[2] = num[i]; // 读入 step++; printf("第%d步\t",step); // 测试 1： 输出状态 for(int j=0; j<3; j++) printf("%d", state[j]); printf("\t"); // 判断 if(state[0]==0) { if(state[1]==0) { if(state[2]==1) { state[0]=0; state[1]=1; // 如果是00,1就转变为01,1 state[2]=0; num[i]=1; // 如果是01,0就转变为10,1 } } else { if(state[2]==0) { state[0]=1; state[1]=0; state[2]=1; num[i]=1; // 如果是01,0就转变为10,1 } } } else { if(state[1]==0) { if(state[2]==0) // 退位有问题？？ { num[i]=0; // 如果是10,0就返回1位并把状态改为11,0 state[0]=1; state[1]=1; i = i-2; } } else { if(state[2]==0) { printf("Error!\n"); return 0; } else { num[i]=0; // 如果是11,1就把状态改为00,0且输出 for(int j=0; j<Max; j++) printf("%d ", num[j]); printf("\n-----------------------结束---------------------------\n"); for(int i=0; i<Max; i++) sum += num[i]; printf("加法图灵机的结果为：%d", sum); return 0; } } } // 测试 2： 输出处理过程 for(int j=0; j<Max; j++) printf("%d ", num[j]); printf("\n"); } }
AddingTuringMachine.cpp测试结果如下：
/** 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 // bug，没有结束标记；结束标记是11,1但是此处没有 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 // 16位的纸带，最大和数为 14？？ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 // 越界，bug */ /** bug 1: 全为 0 的 16 位纸带（个人认为这个不是 bug）； bug 2： 10+6 的 16 位纸带（解决方法： 1、增长纸带（新增部分初始值为 0）； 2、增加判断条件！） */
参考文献
[1] A.M.Turing.ON COMPUTABLE NUMBERS,WITH AN APPLICATION TO THE ENTSCHEIDUNGSPROBLEM.1936,5(28).
[2] 罗琼主编；杨微副主编；卢青华，张莉娜，袁丽娜，陈孝如参编．计算机科学导论：北京邮电大学出版社，2016.08：第36页
附录
- 文献[1]的中文名《论数字计算在决断难题中的应用》；
- 文献[1]的下载链接（请关注博主的公众号：伊万之谈；或者扫下方的二维码）然后发送编号：01。（然后你会得到百度网盘的链接与密码！）；
- 邱奇-图灵论题（维基百科）；
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图2 a图为博主的公众号二维码，b图为图灵的照片
