水题乱做

P11746

设 \(R\) 为单色行的数量，\(C\) 为单色列的数量。
根据题意，AI 的得分 \(S_{AI} = R + C\)，你的得分 \(S_P = (n - R) + (m - C) = n + m - (R + C) = n + m - S_{AI}\)。

获胜条件是 \(S_P\) 为奇数且 \(S_{AI}\) 为偶数。
代入 \(S_P\) 的表达式：\(n + m - S_{AI}\) 为奇数。
由于 \(S_{AI}\) 必须为偶数，那么 \(n + m - \text{偶数} = \text{奇数}\)，这意味着 \(n + m\) 必须是奇数。

结论 1：如果 \(n + m\) 是偶数，不可能同时满足条件，方案数为 0。
结论 2：如果 \(n + m\) 是奇数，我们只需要计算 \(S_{AI} = R + C\) 为偶数的方案数（此时 \(S_P\) 必然为奇数）。

我们需要计算 \(R + C\) 为偶数的方案数。设 \(N = 2^{nm}\) 为总方案数。
令 \(Ans\) 为所求方案数。

我们可以通过计算统计量 \(S = \sum (-1)^R (-1)^C\) 来辅助求解。
如果我们将所有棋盘分为两类：\(R+C\) 为偶数的集合 \(E\)（大小为 \(Ans\)），\(R+C\) 为奇数的集合 \(O\)。
则：

1. \(E + O = 2^{nm}\)
2. \(E - O = S\)
   两式相加得 \(2E = 2^{nm} + S \implies Ans = \frac{2^{nm} + S}{2}\)。

然后分类讨论，我们可以推导出：

\[S = (2^m - 4)^n + (2^n - 4)^m - 2^{nm} + 2 \cdot \Delta_B \]

其中 \(\Delta_B\) 是与“黑色单色线”相关的加权和：

\[\Delta_B = Z - (2^m - 2)^n - (2^n - 2)^m + 2^{nm} \]

而 \(Z\) 是一个可以通过 \(O(n)\) 计算的求和项：

\[Z = \sum_{s=0}^n \binom{n}{s} (-2)^s (2^{n-s} - 2)^m \]

综合整理，\(Ans = \frac{1}{2} \left[ 2^{nm} + (2^m-4)^n + (2^n-4)^m + 2Z - 2(2^m-2)^n - 2(2^n-2)^m + 2^{nm} \right]\)
化简后：\(Ans = 2^{nm} + Z + \frac{1}{2} \left[ (2^m-4)^n + (2^n-4)^m - 2(2^m-2)^n - 2(2^n-2)^m \right]\)

期望得分 \(100\) 分，实际得分 \(100\) 分。

qoj9492

我们需要维护两个树上的数据。操作涉及在 \(T_1\) 上进行路径加值，在 \(T_2\) 上进行路径求和。
显然，问题可以转化为：

1. 每个节点 \(u\) 可以映射为一个二维点 \((dfn1[u], dfn2[u])\)。
2. \(T_1\) 上的路径修改对应于 \(dfn1\) 维度上的若干区间加值。
3. \(T_2\) 上的路径查询对应于 \(dfn2\) 维度上的若干区间求和。

问题本质上就是二维区域权值维护。由于操作是在线的，且 \(N, M\) 较大，直接使用二维线段树或树套树空间和时间开销较大。

我们可以对 \(X\) 轴（即 \(dfn1\)）进行分块。

• 将 \(X\) 轴分成 \(\sqrt{N}\) 个块。
• 每个块内部存储该块内的点，并按 \(Y\) 轴（\(dfn2\)）排序。
• 每个块维护一个懒标记 \(tag\)（用于整块加值）和块内点权的前缀和数组（用于快速查询）。

对于每次修改，在 \(T_1\) 上通过 HLD 分解为 \(O(\log N)\) 个 \(X\) 区间。对于每个区间：

• 若区间完全覆盖某块，更新该块 \(tag\)。

• 若区间部分覆盖某块，暴力更新块内节点的权值 \(A\)，并重构该块的排序前缀和数组。

对于每次查询，在 \(T_2\) 上通过 HLD 分解为 \(O(\log N)\) 个 \(Y\) 区间。对于每个区间：

遍历所有块。在块内二分到 \(Y\) 区间对应的点集，结合前缀和与 tag 计算贡献。

设块大小为 \(B\)。

• 修改：整块 \(O(N/B)\)，零散部分 \(O(B)\)。HLD 乘 \(\log N\)。总复杂度 \(O(M \log N (N/B + B))\)。
• 查询：遍历块 \(O(N/B)\)，二分 \(O(\log B)\)。HLD 乘 \(\log N\)。总复杂度 \(O(M \log N \cdot \frac{N}{B} \log B)\)。
  取 \(B \approx \sqrt{N \log N}\) 可达到平衡。

期望得分 \(100\) 分，实际得分 \(36\) 分，可能需要卡常。

考虑去掉二分。

我们可以维护一个 \(cnt_{y,b}\)，表示在块 \(b\) 中，\(dfn2\) 值小于等于 \(y\) 的节点数量。由于块内节点是按 \(dfn2\) 排序的，\(cnt_{y,b}\) 的值恰好就是二分到的下标。查询复杂度降为 \(O(\frac{N}{B} \log N)\)。

最优块大小应为 \(\sqrt{N} \approx 450\)。

期望得分 \(100\) 分，实际得分 \(100\) 分。