填坑行动10-gcd以及exgcd

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目录

• Tips
• gcd
• exgcd
  • • 前置芝士
    • exgcd求逆元

Tips

1. 本文中所有方程有解均为方程有整数解

gcd

令\(\gcd\left(a,b\right)\)为\(a,b\)的最大公约数。
那么
\(\gcd(a,b)=\\ b,\ a\mod b=0\\ \gcd(b\mod a, b ),\ b\mod a \not= 0\)
或者是
\(\gcd(a,b)=\\ b,\ a=0\\ \gcd(b\mod a, b ),\ a \not= 0\)
算法复杂度\(\Theta\left(\log_2\max\left(a,b\right)\right)\)

exgcd

前置芝士

关于\(x,y\)的一个二元一次方程\(ax+by=c\)
当且仅当\(\gcd\left(a,b\right)|c\)时，方程有解。
这是裴蜀定理，证明因为不会所以就不讲了

exgcd求逆元

我们有一个方程关于\(x,y\)的一个二元一次方程\(ax+by=c\)
要使这个方程有解，则\(\gcd\left(a,b\right)|c\)。令\(c=k\gcd(a,b)\)，那么设一个关于\(x_0,y_0\)的方程\(a_0x_0+b_0y_0=\gcd(a_0,b_0)\)，那么\(x=kx_0,y=ky_0\)
设这个方程有一组解\(x,y\)，就不难得出这组方程的通解：
\(x+k(b\div\gcd(a,b)),y-k(a\div\gcd(a,b))\)(\(k\)是整数)
只要求出一个解就可以求出所有解了。那么，我们怎么求助一组解呢？用exgcd（逆元）就可以了。

设这个二元一次方程是\(a_0x_0+b_0y_0=\gcd(a_0,b_0)\)然后通过一次exgcd后成为了\(a_1x_1+b_1y_1=\gcd(a_1,b_1)\)，其中\(a_1=b_0\ ,\ b_1=b_0\mod a_0,\gcd(a_0,b_0)=\gcd(a_1,b_1)\)（其实就是进行一次\(\gcd\)辗转相除）
那么我们就可以得到
\(a_0x_0+b_0y_0=a_1x_1+b_1y_1\)
进而得到\(y_0=x_1,x_0=y_1-\lfloor b_0/a_0\rfloor\times x_1\)
当\(a_1=0\)的时候，令\(x_0=0,y_0=1\)，这样就可以递归回溯了。