斐波那契数列【转】

斐波那契数列

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维基百科更全，但经过几次都发现易出现不能显示的问题，如果需要可以参考百度百科http://baike.baidu.com/view/816.htm

1、通项公式：

2、推导

初等代数解法

已知

 

  • a_1=1
  • a_2=1
  • a_n = a_{n-1}+ a_{n-2}

 

 首先构建等比数列

 

设a_n +\alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}+\alpha a_{n-2})
化简得
a_n=(\beta -\alpha) a_{n-1}+ \alpha\beta a_{n-2}
比较系数可得:
\begin{cases} \beta-\alpha=1 \\ \alpha\beta=1 \end{cases}
不妨设\beta>0, \alpha>0
解得：

 

\begin{cases} \alpha=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\ \beta=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \end{cases}
所以有a_n +\alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}+\alpha a_{n-2})， 即\left\{a_n +\alpha a_{n-1}\right\}为等比数列。

 

求出数列{a_n +\alpha a_{n-1}}

 

由以上可得：
\begin{align}a_{n+1} +\alpha a_{n} &=(a_2+\alpha a_1)\beta^{n-1}\\ & = (1+\alpha)\beta^{n-1}\\ & =\beta^n \\ \end{align}

 

变形得： \frac{a_{n+1}}{\beta^{n+1}}+\frac{\alpha}{\beta}\frac{a_{n}}{\beta^{n}}=\frac{1}{\beta}。 令b_n=\frac{a_n}{\beta^n}

 

 求数列{b_n}进而得到{a_n}

 

b_{n+1}+\frac{\alpha}{\beta}b_{n}=\frac{1}{\beta}
设b_{n+1}+\lambda=-\frac{\alpha}{\beta} (b_{n}+\lambda)，解得\lambda=-\frac{1}{\alpha+\beta}。 故数列 \left\{b_n+\lambda\right\}为等比数列
即 b_n+\lambda=\left(-\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n-1}\left(b_1+\lambda\right)。而 b_1=\frac{a_1}{\beta}=\frac{1}{\beta}， 故有 b_n+\lambda=\left(-\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{\beta}+\lambda\right)
又有 \begin{cases} \alpha=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\ \beta=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \end{cases} 和 b_n=\frac{a_n}{\beta^n}
可得 a_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]

 

得出 {a_n} 表达式

 

a_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]

 

 线性代数解法

 

\begin{pmatrix} F_{n+2} \\ F_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_{n} \end{pmatrix}

 

\begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1} \\ F_{n+1} & F_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{n + 1}

 

 构建一个矩阵方程

 

设Jn为第n个月有生育能力的兔子数量，An为这一月份的兔子数量。

 

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix} \cdot {J_n\choose A_{n}},

 

上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。而要求的是，An+1的表达式。

 

 求矩阵的特征值： \lambda

 

行列式：- \lambda *(1- \lambda )-1*1= \lambda 2- \lambda -1

 

当行列式的值为0，解得 \lambda_1 =\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) 或 \lambda_2 =\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})

 

特征矢量

 

将两个特征值代入

 

\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}-\lambda \cdot E) \cdot\vec x = 0

 

求特征矢量\vec x 得

 

\vec x_1=\begin{pmatrix} 1\\\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})\end{pmatrix}

 

\vec x_2=\begin{pmatrix} 1\\\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})\end{pmatrix}

 

分解首矢量

 

第一个月的情况是兔子一对，新生0对。

 

{J_{1}\choose A_{1}} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

 

将它分解为用特征矢量表示。

 

\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})\end{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})\end{pmatrix} （4）

 

 用数学归纳法证明

 

从

 

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix} \cdot {J_n\choose A_{n}}=\lambda \cdot {J_n\choose A_{n}}

 

可得

 

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}^n \cdot {J_{1}\choose A_{1}} =\lambda^n \cdot {J_{1}\choose A_{1}} （5）

 

化简矩阵方程

 

将（4） 代入 （5）

 

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \lambda^n \cdot [\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})\end{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})\end{pmatrix}]

 

根据 3

 

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_1^n \cdot \begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})\end{pmatrix}- \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_2^n\cdot \begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})\end{pmatrix}

 

求A的表达式

 

现在在6的基础上，可以很快求出An+1 的表达式，将两个特征值代入 6 中

 

A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_1^{n+1} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_2^{n+1}

 

A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\lambda_1^{n+1} - \lambda_2^{n+1})

 

A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ((\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}))^{n+1} - (\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5}))^{n+1}) (7)

 

(7)即为An+1 的表达式

 

 近似值

 

F_n \approx \frac{1}{\sqrt{5}} a^n = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ( \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) )^n \approx 0.4472135955 \cdot 1.618033988745^n

3、斐波那契数列与黄金分割点间的不解之缘

 

 

开普勒发现数列前、后两项之比1/2 ,2/3 , 3/5 ,5/8 ,8/13 ,13/21 ,21/34 ,...... ,也组成了一个数列，会趋近黄金分割：

 

\frac {f_{n+1}}{f_n} \approx a = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) = \varphi \approx 1{,}618{...}

 

 

posted on 2012-10-28 11:37  即为将军  阅读(304)  评论(0)    收藏  举报

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