hdu 4135(容斥原理)

题意：就是让你求(a,b)区间于n互质的数的个数.

分析：我们可以先转化下：用(1,b)区间与n互质的数的个数减去(1,a-1)区间与n互质的数的个数,那么现在就转化成求(1,m)区间于n互质的数的个数,如果要求的是(1,n)区间与n互质的数的个数的话，我们直接求出n的欧拉函数值即可，可是这里是行不通的!我们不妨换一种思路：就是求出(1,m)区间与n不互质的数的个数，假设为num，那么我们的答案就是：m-num!现在的关键就是：怎样用一种最快的方法求出(1,m)区间与n不互质的数的个数？方法实现：我们先求出n的质因子(因为任何一个数都可以分解成若干个质数相乘的),如何尽快地求出n的质因子呢？我们这里又涉及两个好的算法了!第一个：用于每次只能求出一个数的质因子,适用于题目中给的n的个数不是很多，但是n又特别大的;(http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115399.html)第二个：一次求出1~n的所有数的质因子,适用于题目中给的n个数比较多的，但是n不是很大的。(http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/01/3112035.html)本题适用第一个算法！举一组实例吧:假设m=12,n=30.

第一步：求出n的质因子：2,3,5；

第二步：(1,m)中是n的因子的倍数当然就不互质了(2,4,6,8,10)->n/2  6个,(3,6,9,12)->n/3  4个,(5,10)->n/5  2个。

如果是粗心的同学就把它们全部加起来就是：6+4+2=12个了，那你就大错特错了,里面明显出现了重复的,我们现在要处理的就是如何去掉那些重复的了！

第三步：这里就需要用到容斥原理了，公式就是：n/2+n/3+n/5-n/(2*3)-n/(2*5)-n/(3*5)+n/(2*3*5).

第四步:我们该如何实现呢？我在网上看到有几种实现方法：dfs(深搜)，队列数组，位运算三种方法都可以！上述公式有一个特点：n除以奇数个数相乘的时候是加，n除以偶数个数相乘的时候是减。我这里就写下用队列数组如何实现吧：我们可以把第一个元素设为-1然后具体看代码如何实现吧！

同种类型的题目：hdu 2841    hdu1695

代码实现：

 

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
__int64 a[1000],num;
void init(__int64 n)//求一个数的质因子
{
    __int64 i;
    num=0;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            a[num++]=i;
            while(n%i==0)
                n=n/i;
        }
    }
    if(n>1)//这里要记得
        a[num++]=n;
}
__int64 haha(__int64 m)//用队列数组实现容斥原理
{
    __int64 que[10000],i,j,k,t=0,sum=0;
    que[t++]=-1;
    for(i=0;i<num;i++)
    {
        k=t;
        for(j=0;j<k;j++)
           que[t++]=que[j]*a[i]*(-1);
    }
    for(i=1;i<t;i++)
        sum=sum+m/que[i];
    return sum;
}
int main()
{
    __int64 T,x,y,n,i,sum;
    while(scanf("%I64d",&T)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=T;i++)
        {
           scanf("%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&n);
           init(n);
           sum=y-haha(y)-(x-1-haha(x-1));
           printf("Case #%I64d: ",i);
           printf("%I64d\n",sum);
        }
    }
    return 0;
}