斐波那契数列的分治法计算
《编程之美》一书中讲述斐波那契数列的问题，之前大学本科的时候就接触这个问题，那时候开始就知道使用递归来计算，可是一直没有考虑过改进下该算法。。。囧~~菜 直到看到这本书，发现原来之前好多问题都可以优化，斐波那契就是其中之一，其中书本中讲述了三种方法、：
- 第一种就是对平时的递归算法进行优化，增加了数组专门记录每个子问题的解，实际上是动态规划的思想；
- 第二种利用数学中通项公式，利用F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）递推公式得到F（n）的特征方程，然后直接利用公式计算。。。好bug哇~ 不过存在无理数，数据的精度就无法保证了~~
- 利用分治策略，将问题转换为矩阵乘幂的问题。
其余两种大家可以去网上找答案脑补下，我这里关键阐述下第三种哈~
基本的原理是运用矩阵：
(Fn Fn-1) = (Fn-1 Fn-2)*A，求解得到
A = { {1,1}, {1,0}}
然后通过递推式
(Fn Fn-1) = (Fn-1 Fn-2)*A = (Fn-2 Fn-3)*A^2 = .... = (F1 F0)*A^(n-1)
然后只要计算A^(n-1)，再与矩阵(F1 F0)相乘，就可以的得到 Fn的值，我非常佩服作者的是，能把重复计算转化为对A的n-1乘法计算，因为计算A的n-1乘法有快速相乘的方法，比如计算m的10000次方，其实最少的计算次数，等于10000的最高比特位的位置与零的个数，即14~28次乘法运算，并不需要10000次乘法。
对于n有 n = ak*2^k + ak-1*2^k-1 + ... + a1*2 + a0，其中ai = 0 或1 ，i = 0,1,2... k ，将幂数变为二进制形式表示，此时我们只需要进行logn次的运算(以2为底)。 也即 快速指数相乘法。
下面是自己实现的代码，可能写的比较挫~ 关键是matrix矩阵的写法哈~
#include <iostream> using namespace std; // struct Matrix { Matrix(int n) { if (n >= 1) { nLength = n; data = new long long*[nLength]; for (int i = 0; i!= n; i++) { data[i] = new long long[nLength]; } } else { data = NULL; } } Matrix() { data = NULL; } // 拷贝构造函数 Matrix(const Matrix &m) { int nLen = m.GetMatrixLength(); if (nLen >= 1) { nLength = nLen; data = new long long*[nLength]; for (int i = 0; i!= nLen; i++) { data[i] = new long long[nLength]; } // for (int j = 0; j!=nLen; j++) { for (int k = 0; k != nLen; k++) { data[j][k] = m.GetMatrixValue(j,k); } } } else { data = NULL; } } // 重载赋值操作符 // 错误都在这里。。。注意因为涉及到指针，一定要深拷贝 Matrix& operator = (const Matrix& m) { // 如果是自己 直接返回即可 if (this == &m) { return *this; } // 如果当前对象已有空间也需要释放掉 重新分配 if (data) { for (int i = 0; i!=nLength ; i++) { if (data[i]) { delete[] data[i]; } } delete[] data; data = NULL; } // if (data == NULL) { nLength = m.GetMatrixLength(); data = new long long*[nLength]; for (int i = 0; i!= nLength; i++) { data[i] = new long long[nLength]; } } for (int i=0; i!= nLength; i++) { for (int j = 0; j != nLength; j++) { this->data[i][j] = m.GetMatrixValue(i,j); } } // 方法返回时 调用析构 函数 释放空间 return *this; } // 释放所有分配的空间 ~Matrix() { if (data) { for (int i = 0; i!=nLength ; i++) { if (data[i]) { delete[] data[i]; } } delete[] data; data = NULL; } } void setIdentity() { for (int i = 0; i != nLength; i++) { for (int j = 0; j!= nLength; j++) { data[i][j] =( (i ==j) ? 1 : 0 ); } } } // 重载乘等操作符 一定要记得深拷贝哦 亲 Matrix& operator *= (const Matrix& m) { if (this->nLength == m.nLength) { Matrix tmp(m.nLength); for (int i = 0; i!= nLength; i++) { for (int j = 0; j!= nLength; j++) { // 计算每个位置的值 long long nValue = 0; for (int p = 0; p != nLength; p++) { nValue += data[i][p] * (m.GetMatrixValue(p,j)); } tmp.SetMatrixValue(i,j,nValue); } } // *this = tmp; // 返回时会调用析构 释放tmp对象 } return *this; } // void SetMatrixValue(const int i,const int j, const long long nValue) { data[i][j] = nValue; } long long GetMatrixValue(const int i, const int j) const { long long n = data[i][j]; return n; } unsigned int GetMatrixLength() const { return nLength; } private: unsigned int nLength; long long **data; }; void GetMatrixPow(const Matrix &m, int index,Matrix &result) { // 先单位化结果矩阵 result.setIdentity(); // Matrix tmp(m.GetMatrixLength()); // // tmp = m; Matrix tmp = m; // C语言风格的赋值 会调用拷贝构造函数 for (;index;index >>=1) { if (index & 1) { result *= tmp; } tmp *= tmp; } // 该函数结束 调用matrix析构函数 释放tmp所占空间 } long long Fibonacci(int n) { if (n == 0) { return 0; } else if (n == 1) { return 1; } long long nValue = 0; Matrix A(2); A.SetMatrixValue(0,0,1); A.SetMatrixValue(0,1,1); A.SetMatrixValue(1,0,1); A.SetMatrixValue(1,1,0); // 结果矩阵一定还是2*2的 Matrix result(2); GetMatrixPow(A , n-1,result); nValue = result.GetMatrixValue(1,0);//F0* result.GetMatrixValue(0,0) + F1* result.GetMatrixValue(1,0); return nValue; } int main() { int N; cout<<"输入你要计算的斐波那契数列的项(目前可以计算到93~)："; cin>>N; for (int i = 0; i <= N; i++) { long long nResult = Fibonacci(i); cout<<nResult<<endl; } return 0; }
程序的运行结果如下所示：
当然这里矩阵每个元素我用了long long 64位，经测试可以计算到93~ 需要改进的话，需要选择合适的变量类型。
