PBR Step by Step(四)Lambertian反射模型

光照可分为局部光照全局光照

局部光照:直接照射到物体表面的光照

全局光照:物体表面受周围环境影响的光照

左图中点x接收到周围环境的光线照射,来自周围表面的反射光照称为全局光照;右图中点x接收来自太阳光的直接照射,来自太阳发射的直接光照称为局部光照。

 

在现实环境中,全局光照的情况更为复杂,例如:

  • 半透明表面(Semi-transparent surfaces):光线可以穿过表面进行复杂的交互,如玻璃棱镜,可以改变光的波长;
  • 次表面散射(Sub-Surface Scattering):光线可以穿过子表面,在同一表面的不同方向反射,如皮肤;
  • 表面渗色(Surface bleeding):光线穿过表面,在介质中改变颜色到目标表面。

其他例子还有很多,全局光照会比局部光照效果更佳柔和自然,但考虑到其复杂性,应用到实时渲染中也是有一定难度的。

我们在前几篇中通过理论得到的BRDF光照模型公式实际为局部光照模型中,还欠缺了全局光照因素。

下面,我们来研究一下BRDF的局部反射模型,先来看下最简单的Lambertian反射模型。

Lambertian反射模型

Lambertian反射称作完全漫反射。这是一种理想情况,现实中不存在完全漫反射,但Lambertian可以用来近似的模拟一些粗糙表面的效果,比如纸张。

对于Lambertian表面,入射方向与出射方向无关\({\omega_i}\)与\({\omega_o}\)无关,\({L_o(p, \omega_o)}\)可以表示为\({L_o(p, \omega_o)} = {L_r(p)}\)。

在上一篇中,我们知道反射辐射度的方程为:

\({L_o(p,\omega_o)} = \int_{\Omega_i}{f_r(p, \omega_i, \omega_o)}\, {L_i(p, \omega_i)}\, {\cos \theta_i}\, {d\omega_i}\)

在Lambertian反射模型中,由于\({\omega_i}\)与\({\omega_o}\)无关,BRDF项\({f_r(p, \omega_i, \omega_o)} = {f_r(p)}\),上式可表示为:

\({L_r(p)} = {f_r(p)\int_{\Omega_i}L_i(p, \omega_i)\, \cos \theta_i \, d\omega_i} = {f_r(p)\, E_i(p)}\)

\(\Rightarrow {f_r(p)} = \frac{L_r(p)}{E_i(p)}\)

在上一篇的反射率中,\({\Omega_o}\)内的反射通量\({d\Phi_o} = {dA\int_{\Omega_o}L_o(p,\omega_o) \, \cos \theta_o \, d\omega_o}\)

在整个Lambertian表面半球积分(\({\Omega_o} = {2\pi}\))中:

\({d\Phi_o} = {dAL_r(p)\int_{2\pi}\cos \theta_o \, d\omega_o} = {dA \, L_r(p) \, \pi}\)

式中的\({\int_{2\pi}\cos \theta_o \, d\omega_o} = {\pi}\),这是一个半球积分,在第一篇中我们推出过该结果。

\({d\Phi_i} = {dA\int_{2\pi} L_i(p, \omega_i) \, \cos \theta_i \, d\omega_i} = {dA \, E_i(p)}\)

反射率\({\rho_d(p)} = \frac{d\phi_o}{d\phi_i} = \frac{L_r(p) \, \pi}{E_i(p)} = {f_r(p) \, \pi}\)

这样,我们就得到了Lambertain BRDF:\({f_r(p)} = \frac{\rho_d(p)}{\pi}\)

其中\({\rho_d}\)可以用常数项表示:\({\rho_d} = {k_d \, c_d}\),\({k_d \in [0, 1]}\),表示漫反射系数;\({c_d}\)表示漫反射颜色。

Lambertain BRDF又可写为\({f_r(p)} = \frac{k_d \, c_d}{\pi}\)

 

我们通常在实时渲染出于性能方面的考虑,会省略掉\(\pi\),我们熟知的漫反射颜色计算公式,就是从反射辐射度方程中简化而来的:

反射辐射度方程:\({L_o(p,\omega_o)} = {f_r(p, \omega_i, \omega_o)}\int_{\Omega_i}{L_i(p, \omega_i)}\, {\cos \theta_i}\, {d\omega_i}\)

漫反射着色公式:\({L_r} = {k_d \, c_d} {\sum_{1}^{n}  \, L_i \, (n * l)} \)

对比看一下,是不是很像?\(\sum_{1}^{n}\)表示逐个光源求和近似积分,\({L_i}\)表示光源强度,\({n * l}\)表示\({\cos \theta_i}\)项

posted on 2015-11-06 01:26  往昔之剑  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏

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