P1099 树网的核 - 树的直径 + 单调队列

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本文标题:P1099 树网的核 - 树的直径 + 单调队列

文章作者:gyro永不抽风

发布时间:2020年09月22日 - 17:09

最后更新:2020年09月22日 - 20:09

原始链接:http://hexo.gyrojeff.moe/2020/09/22/P1099-%E6%A0%91%E7%BD%91%E7%9A%84%E6%A0%B8-%E6%A0%91%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84-%E5%8D%95%E8%B0%83%E9%98%9F%E5%88%97/

许可协议: 署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际 (CC BY-NC-SA 4.0) 转载请保留原文链接及作者!

题目

题目描述

T=(V,E,W)T=(V,E,W) 是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树),每条边到有正整数的权,我们称 TT 为树网(treenetwork),其中 VVEE 分别表示结点与边的集合,WW 表示各边长度的集合,并设 TTnn 个结点。

路径:树网中任何两结点 aabb 都存在唯一的一条简单路径,用 d(a,b)d(a, b) 表示以 a,ba, b 为端点的路径的长度,它是该路径上各边长度之和。我们称 d(a,b)d(a, b)a,ba, b 两结点间的距离。

D(v,P)=min{d(v,u)}D(v, P)=\min\{d(v, u)\}, uu 为路径 PP 上的结点。

树网的直径:树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网 TT,直径不一定是唯一的,但可以证明:各直径的中点(不一定恰好是某个结点,可能在某条边的内部)是唯一的,我们称该点为树网的中心。

偏心距 ECC(F)\mathrm{ECC}(F):树网 TT 中距路径 FF 最远的结点到路径 FF 的距离,即

ECC(F)=max{d(v,F),vV}\mathrm{ECC}(F)=\max\{d(v, F),v \in V\}

任务:对于给定的树网 T=(V,E,W)T=(V, E, W) 和非负整数 ss,求一个路径 FF,他是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点),其长度不超过 ss(可以等于 ss),使偏心距 ECC(F)ECC(F) 最小。我们称这个路径为树网 T=(V,E,W)T=(V, E, W) 的核(Core)。必要时,FF 可以退化为某个结点。一般来说,在上述定义下,核不一定只有一个,但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中,ABA-BACA-C 是两条直径,长度均为 2020。点 WW 是树网的中心,EFEF 边的长度为 55。如果指定 s=11s=11,则树网的核为路径DEFG(也可以取为路径DEF),偏心距为 88。如果指定 s=0s=0(或 s=1s=1s=2s=2),则树网的核为结点 FF,偏心距为 1212

输入格式

nn 行。

11 行,两个正整数 nnss,中间用一个空格隔开。其中 nn 为树网结点的个数,ss 为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为 1,2,n1,2\dots,n

从第 22 行到第 nn 行,每行给出 33 个用空格隔开的正整数 u,v,wu, v, w,依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如,2 4 7 表示连接结点 2244 的边的长度为 77

输出格式

一个非负整数,为指定意义下的最小偏心距。

输入输出样例

输入 #1
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3
输出 #1
5
输入 #2
8 6
1 3 2
2 3 2 
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3
输出 #2
5

说明/提示

  • 对于 40%40\% 的数据,保证 n15n \le 15
  • 对于 70%70\% 的数据,保证 n80n \le 80
  • 对于 100%100\% 的数据,保证 n300n \le 3000s1030\le s\le10^31u,vn1 \leq u, v \leq n1w1031 \leq w \leq 10^3

题解

因为路径$F$是直径上的一部分,那就变得非常好办了。考虑下图的样子:

求出在这种情况之下的子树的最深深度,记为$sd\text{ }secd[i]$,其中$i$为直径上的点,之所以这么表示,因为这个深度是在一个节点所有子树当中第二深的深度,最深的深度$sd\text{ }max[i]$为直径所在的那颗子树的深度。

在这种情况下,可以在直径上选定一段$F$后,列出$ECC(F)$的方程:

$$ ECC(F) = \max \begin {cases} \text{left of}~F~\text{in diameter}\\ \max \{sd\_secd[i],~i\in F\} \\ \text{right of}~F~\text{in diameter} \end {cases} $$

因为求上面是式子中的第一项和第三项非常容易,在直径求完之后就是$O(1)$了,而第二项是区间最大值,那么我们可以用单调队列维护。

题解

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#include <iostream>
#include <cstring>
#define int long long

using namespace std;

const int maxn = 305;
int h[maxn], ecnt = 2, n, s;
struct edge { int to, next, w; } g[maxn << 1];
void add_edge(int u, int v, int w) { g[ecnt] = (edge) { v, h[u], w }; h[u] = ecnt ++; }
struct node { int pos, val; } q[maxn];

// sd_max: maximum depth of subtree
// sd_secd: second maximum depth of subtree
int dis[maxn], sd_max[maxn], sd_secd[maxn], next[maxn], dia[maxn], head, tail;

int dfs1(int u, int fa) {
int alpha = u;
for (int e = h[u]; e; e = g[e].next) {
int v = g[e].to;
if (v == fa) continue;
dis[v] = dis[u] + g[e].w;
int a = dfs1(v, u);
if (dis[a] >= dis[alpha]) alpha = a;
}
return alpha;
}

void dfs2(int u, int fa) {
for (int e = h[u]; e; e = g[e].next) {
int v = g[e].to;
if (v == fa) continue;
dis[v] = dis[u] + g[e].w;
dfs2(v, u);
int this_depth = sd_max[v] + g[e].w;
if (this_depth >= sd_max[u]) {
sd_secd[u] = sd_max[u];
sd_max[u] = this_depth;
next[u] = v;
} else if (this_depth > sd_secd[u]) {
sd_secd[u] = this_depth;
}
}
}

void inc(long long &i) {
i ++;
while (head < tail && q[head].pos == i - 1) head ++;
}

signed main() {
cin >> n >> s;
for (int i = 1; i < n; i ++) {
int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
add_edge(u, v, w);
add_edge(v, u, w);
}
int ds = dfs1(1, 0);
dis[ds] = 0;
dfs2(ds, 0);
int k = 0;
for (int p = ds; p; p = next[p])
dia[++ k] = p;


// for (int i = 1; i <= k; i ++) cout << dia[i] << endl;
// for (int i = 1; i <= k; i ++) cout << sd_secd[dia[i]] << endl;
// for (int i = 1; i <= k; i ++) cout << dis[dia[i]] << endl;


int ans = 8e18;
head = 0, tail = 0;
for (int i = 1, j = 1; i <= k; inc(i)) {
int u = dia[i];
while (j + 1 <= k + 1 && dis[dia[j]] - dis[u] <= s) {
while (head < tail && q[tail - 1].val <= sd_secd[dia[j]]) tail --;
q[tail ++] = (node) { j, sd_secd[dia[j]] };
j ++;
}
int tmp = max(dis[u], dis[dia[k]] - dis[dia[j - 1]]);
tmp = max(tmp, q[head].val);
ans = min(ans, tmp);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
posted @ 2020-11-10 17:54  gyro永不抽风  阅读(98)  评论(0编辑  收藏  举报