算法学习笔记(1): 欧几里得算法及其扩展

扩展欧几里得算法详解

目录

• 扩展欧几里得算法详解
  • 欧几里得算法
  • 贝祖定理
  • 扩展欧几里得算法

在了解扩欧之前我们应该先了解欧几里得算法

欧几里得算法

这是一个递归求最大公约数(greatest common divisor)的方法

\[gcd(a, b) = gcd(b, a \% b) \]

可以通过一个类似的简单公式推导而来

好像叫做辗转相减法来着？

\[gcd(a, b) = gcd(b, a-b) = gcd(b, a-kb) \]

由于已知 \(a \mod b = a - b \lfloor \frac ab \rfloor\)

令 \(k = \lfloor \frac ab \rfloor\)则可以推导出

\[gcd(a, b) = gcd(b, a - b \lfloor \frac ab \rfloor) = gcd(b, a \% b) \]

这里给出两种代码

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

// 这种方法稍微快了那么一点点。其实也没有什么影响
int gcd(int a, int b) {
    int t;
    while (b) {
        t = a % b, a = b, b = t;
    }
    return a;
}

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但是在讲扩欧之前，还需要引入一个定理

贝祖定理

若\(a,b \in \mathbb{N^+}\)，则 \(\exists s, t\) 满足 \(gcd(a, b) = sa + tb\)

定义:

其中，\(s,t\)称为\(a, b\)的贝祖系数，等式 \(gcd(a, b) = sa + tb\) 称为贝祖恒等式

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扩展欧几里得算法

本质上就是欧几里得算法和贝祖定理的结合产生的一种算法，可以用于求出形如

\[ax + by = c \]

的二元一次等式的一组合法解（其中，\(a, b, c\)为参数）

在欧几里得算法中，核心的思路是这样的

\[gcd(a, b) = gcd(b, a \% b) = gcd(b, a - b\lfloor \frac ab \rfloor) \]

而边界条件是

\[gcd(a, b) = gcd(c, 0) = c \]

则，在边界时有

\[1 \times c + 0 \times 0 = c \]

即可知，边界时应有\(s = 1, t = 0\)

但是我们要如何回推呢？

依据贝祖定理

\[gcd(x, y) = sx + ty \]

以及

\[gcd(a, b) = gcd(b, a - b\lfloor \frac ab \rfloor) \]

令等式左右的贝祖系数为\(s_1, t_1\)和\(s_2, t_2\)可以变形写出

\[\begin{aligned} s_1 a + t_1 b &= s_2 b + t_2 (a - b\lfloor \frac ab \rfloor) \\ &= t_2 a + (s_2 - t_2 \lfloor \frac ab \rfloor)b \end{aligned} \]

于是可以知晓

\[\begin{cases} s_1 = t_2 \\ t_1 = s_2 - t_2 \lfloor \frac ab \rfloor \end{cases} \]

于是，可以写出扩欧的代码

这里给出一种C-style的代码

int exgcd(int a, int b, int *s, int *t) {
    if (b == 0) {
        *s = 1, *t = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, t, s);
    *t -= (a / b) * *s;
    return r;
}

当然，扩欧其实也是可以利用矩阵递推的

我们通过上述递推式可以将之转化为矩阵递推式

\[\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \]

其中，\(-d_1 = \lfloor\frac ab\rfloor\)

于是，就可以一直乘下去

\[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_3 \end{pmatrix} \ldots \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

那么，有了从右向左的推导，从左向右呢？

设初始矩阵为M，则需要

\[M \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_1 \end{pmatrix} \]

所以

\[M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

于是，我们可以简单的利用矩阵乘法递推了！

但是，如果真的用矩阵模拟还不如不用，所以我们还需要一定的优化

设当前矩阵\(M\)为\(\begin{pmatrix} m_1 & m_2 \\ n_1 & n_2 \end{pmatrix}\)，需要乘上\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_k \end{pmatrix}\)

则，\(M\)变为\(\begin{pmatrix} m_2 & m_1 - m_2d_k \\ n_2 & n_1 - n_2d_k\end{pmatrix}\)

所以，就按照上面的式子写就是了（我就不提供参考了）