CF1101G (Zero XOR Subset)-less

洛谷题目 CF原题

Solution

因为要求区间异或和，所以很自然的想到异或前缀和，即设 \(sum_i=a_1\oplus a_2\oplus \cdots\oplus a_i\) ，那么 \((l,r)\) 的异或和就能用 \(sum_{l-1}\oplus sum_r\) 来表示。

那么我们就需要找出尽量多的点 \(p_x\) ，使得 \(\{sum_{p_1},sum_{p_2}\oplus sum_{p_1},\cdots ,sum_{p_{t-1}}\oplus sum_n\}\) 的子集的异或非 \(0\) 。

等等，我们可以先构造另一个和上面等价的序列 \(\{sum_{p_1},sum_{p_2},\cdots ,sum_{p_{t-1}},sum_n\}\) ，因为将上面里面的东西相互异或对最后的命题是否成立没有影响。

说人话就是：对于子集非 \(0\) ，或者它们的线性基是等价的。

比如： \(sum_x\oplus sum_y=((sum_x\oplus sum_{x+1})\oplus(sum_{x+1}\oplus sum_{x+2})\cdots (sum_{y-1}\oplus sum_y))\)

ok，现在只要找到一个合适的顺序使得 \(sum_i\) 的序列的线性基元素最多就行。

接下来，可以看我这篇题解关于一个序列的线性基元素数量唯一 的证明。

既然知道元素数量都一样，那就直接扫一遍就行。

完结撒花上代码(o゜▽゜)o☆

Code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,ans,a[N],cnt,d[35];

inline void insert(int x){
    for(int i=30;i>=0;i--){
        if(x&(1<<i)){
            if(!d[i]){
                ++cnt; d[i]=x;
                break;
            }
            else x=d[i]^x;
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]^=a[i-1];
    if(!a[n]){
        puts("-1");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) insert(a[i]);
    printf("%d\n",cnt);
    return 0;
}