线性最佳分割算法

题目描述：

给出任意一个一维数组，数组中又m个数，在不改变数顺序的前提下，将数分割成尽量相等的k份。

动态规划
 动态规划方程式：f[i,j]=min(max(f[x,j-1],p[i]-p[x]));即i个数分成j份，他们的最佳分割值的大小是分成j-1份之中所有最佳
 可能性得值和后继所有元素之和的最大值中的最小值。
 为什么呢？
 第一步，我们简单的看一个数组分成两份的情况。
 把一个数组a[10]平均分成两份假设元素分别是1，2，3，4，5
 则算法如此运行：
 1| 2 3 4 5    maxvalue:14.
 1 2| 3 4 5    maxvalue:12
 1 2 3| 4 5    maxvalue:9
 1 2 3 4| 5    maxvalue:10
 因此最佳分割是1 2 3和4 5
 第二步，我们假设数组分成三份
 1 2 3 4 5
 按照算法就会遍历x个元素分成2组所有的最佳情况，和后续元素组成3组
 数组     分割点       组1 2  3  max
 1         1         0  1  14 14
 1 2       2         1  2  12 12
 1 2 3     3         3  3  9   9
 1 2 3 4   4         6  4  5   6
 1 2 3 4 5 5         6  9  0   9
 取最大值的最小值
 于是分成三组的最佳分割就是 1 2 3| 4| 5
 任意多个元素的情况下，只要记录下x个元素的j-1分割所有最佳情况，就可以计算出i个元素分成j组的最佳情况。
 算法设计：
 使用m[i][j]记录所有状态:i个元素分成j组的最佳分割值（每组元素之和的最大值）
 初始化：
 m[i][1]表示了a[1]~a[i]元素的前缀和i个元素分成1组就是本身
 m[1][i]表示 a[i]
 计算m[i][j] 就必须先求出m[x][j-1]和p[i]-p[x]的所有最大值中的最小值
 于是如此地推下去
 d[i][j]记录下当i个元素分成j份的时候分割的地方在哪里，也就是数组下标。

#include <stdio.h>
#define INF 1000000000
int a[100],p[100];
int m[100][100];
int d[100][100];
int n,k;
int max(int p1,int p2)
{
    return p1<p2?p2:p1;
}
void partition()
{
    //计算出前缀和 填充 矩阵m
    int i,j,x;
    p[0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        p[i]=p[i-1]+a[i];
    }
    for(i=0;i<=n;i++)for(j=0;j<=n;j++)d[i][j]=-1;
    for(i=1;i<=n;i++)m[i][1]=p[i];
    for(i=1;i<=n;i++)m[1][i]=a[i];
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        for(j=2;j<=k;j++)
        {
            m[i][j]=INF;
            for(x=1;x<=i-1;x++)//在i-1个元素中寻找分割点
            {
                if(x<j)continue;
                int s=max(m[x][j-1],p[i]-p[x]);//寻找分成可能包含余下全部元素
                if(m[i][j]>s)
                {
                    m[i][j]=s;//x个元素 分成 j份的最大值=i个元素分成j-1份的最大值 或者是余下的数组成的最大值
                    d[i][j]=x;//
                }
            }
        }
    }
    printf("Here is the m matrix:\n");
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        for(j=0;j<=n;j++)
        {
            printf("%d ",m[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    printf("Here is the d matrix:\n");
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        for(j=0;j<=n;j++)
        {
            printf("%d ",d[i][j]);
        }
          printf("\n");
    }
}
int main(int argc, const char * argv[])
{

    // insert code here...
    int i;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d",&k);
    a[0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    partition();
    return 0;
}