P4139 上帝与集合的正确用法（欧拉降幂）

P4139 上帝与集合的正确用法

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​ 根据题意 求 \(2^{2^{2^ {. ^{. ^{. ^{2}}}}}} \bmod p\), 题目已说明必然存在 \(a_n \bmod p\) 之后都是同一个值。

​ 根据欧拉降幂公式：

\[A^k \equiv A^{k \% \phi(p) + \phi(p)} (\bmod p) \]

所以我们可以考虑对指数取模。

​ 其实根据\(\phi(p) \space p \ge2\) 都为偶数，由欧拉函数公式知偶数\(p\), 一定满足不等式 \(\phi(p) \le \frac{p}{2}\), 不断的递归\(\phi(p) \rightarrow \phi(\phi(p)) \rightarrow \dots\) 其实是一个不断减小的过程，所以必然存在结束条件 \(\phi(x) = 1\), 即指数取模后为 \(0\)（若不为 \(1\) 则我们需要不断的进行递归）。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

int phi(int x) {
    int res = x;

    for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
        if (x % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1); 
            while (x % i == 0) x /= i; 
        }
    }  
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}

i64 fast_pow(i64 a, i64 b, i64 mod) {
    i64 res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

i64 solve(i64 x) {
    if (x == 1) return 0;
    int pp = phi(x);
    return fast_pow(2ll, solve(pp) + pp, x);
}

int main() {
   int _; std::cin >> _;
   
   while (_ --) {
        int p; std::cin >> p;

        std::cout << solve(p) << "\n";
   } 
}

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