CF#841-C. Even Subarrays

Codeforces Round#841(Div2) - Even Subarrays

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CF题解

相关概念（小学数学）

完全平方数：

​ 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们称这个数是完全平方数，也叫做平方数。

性质：

1. 完全平方数末尾只能是0, 1, 4, 5, 6, 9
2. 奇数的平方的个位数字位奇数，十位数字位偶数

这里推导一下为什么一个数含有奇数个因子，那么其必然是完全平方数（充要条件）：

​ 充分性证明: 对于 \(x=p^{a_1}_{1}p^{a_2}_{2}...p^{a_n}_{n}\), 他的因子数可以写成\((a_1 + 1) * (a_2 + 1) * ... *(a_n + 1)\)，显然若其因子数为奇数，则对于每一个\(a_i + 1\) 必定为奇数。所以\(a_i\) 为偶数，因此该数为完全平方数。

​ 必要性证明:如果一个数为完全平方数，那么\(x=p^{a_1}_{1}p^{a_2}_{2}...p^{a_n}_{n}\), 且\(x=n^2\) , 那么对于每一个\(p^{a_i}_i\) 其都能化成成\(x_i^2\)， 因此其因子数都为偶数。

思路

前缀异或数组, 异或性质

如果枚举每个，i,j显然 \(O(n^2)\)的复杂度会超时，这时我们需要用到异或的性质

\(a \oplus b = c\) , 则\(a \oplus c = b\)

假设我们已经由前缀异或数组，枚举每个区间我们的操作是\(i\le j\)

\(f[i]\oplus f[j - 1] = x^2\) （这里\(0< x < 2n\) 因为异或不会进位，所以我们左移一下，这个数一定不会超过）

由上述性质，得

\(f[i] \oplus x^2=f[j -1]\)

那么我们通过枚举\(f[i]\space, 1\le i \le n\), 再枚举x

最后复杂度\(O(n\sqrt n)\)

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define ll long long int

const int N = 2e5 + 10;

void solve() {
    long long n, tot; cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), arr(2 * n, 0); tot = (n * (n + 1)) / 2;
    int curr = 0;
    arr[0] ++;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        curr ^= a[i];
        for (int k = 0; k * k < 2 * n; k ++) {
            if ((curr ^ (k * k)) < 2 * n) {
                tot -= arr[curr ^ (k * k)];
            }
        }
        arr[curr] ++;
    } 
    cout << tot << "\n";
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int _;
    cin >> _;
    while (_ --) {
        solve();
    }
}