HDU 2255 奔小康赚大钱 (KM算法 详解+模板)
奔小康赚大钱
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这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
(转）
【KM算法及其具体过程】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为可行边；
（2）KM 算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个 匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所 有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方 点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4） 增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的 数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则 对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这 样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也 就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；
（6）以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶 标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开 始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修 改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int N=310; const int INF=0x3f3f3f3f; int n,nx,ny; int linker[N],lx[N],ly[N],slack[N]; //lx,ly为顶标，nx,ny分别为x点集y点集的个数 int visx[N],visy[N],w[N][N]; int DFS(int x){ visx[x]=1; for(int y=1;y<=ny;y++){ if(visy[y]) continue; int tmp=lx[x]+ly[y]-w[x][y]; if(tmp==0){ visy[y]=1; if(linker[y]==-1 || DFS(linker[y])){ linker[y]=x; return 1; } }else if(slack[y]>tmp){ //不在相等子图中slack 取最小的 slack[y]=tmp; } } return 0; } int KM(){ int i,j; memset(linker,-1,sizeof(linker)); memset(ly,0,sizeof(ly)); for(i=1;i<=nx;i++) //lx初始化为与它关联边中最大的 for(j=1,lx[i]=-INF;j<=ny;j++) if(w[i][j]>lx[i]) lx[i]=w[i][j]; for(int x=1;x<=nx;x++){ for(i=1;i<=ny;i++) slack[i]=INF; while(1){ memset(visx,0,sizeof(visx)); memset(visy,0,sizeof(visy)); if(DFS(x)) //若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广 break; //若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。 //方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d， //所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d int d=INF; for(i=1;i<=ny;i++) if(!visy[i] && d>slack[i]) d=slack[i]; for(i=1;i<=nx;i++) if(visx[i]) lx[i]-=d; for(i=1;i<=ny;i++) //修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d if(visy[i]) ly[i]+=d; else slack[i]-=d; } } int res=0; for(i=1;i<=ny;i++) if(linker[i]!=-1) res+=w[linker[i]][i]; return res; } int main(){ //freopen("input.txt","r",stdin); while(~scanf("%d",&n)){ nx=ny=n; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&w[i][j]); int ans=KM(); printf("%d\n",ans); } return 0; }
