XDTIC2019招新笔试题 + 官方解答
腾讯创新俱乐部2019年招新笔试试题
[1] 小宗学长正在努力学习数论，他写下了一个奇怪的算式：
算式的结果一定很大，所以他只让你求出这个数的后三位，聪明的你能帮帮小宗学长吗？
提示： \((20)19^5\) 结果后三位为 \(099\)
[2] 腾讯的吉祥物想给自己造一套海景别墅，可他自己太懒了，于是抓了一批壮丁来造房子，他要求那些壮丁必须七天造好房子，否则就封他们 \(QQ\) 号，不过可爱的吉祥物很讲道理，他决定拿金条当报酬。吉祥物寻思着每天给工人们发 \(\frac17\) 的金条这个想法不错，可我们得原谅吉祥物实在是太懒了，只想给金条切两刀，请问吉祥物该怎么切金条才好呢？
[3] \(dyx\)学长带着2颗鸡蛋爬上了一栋100层的大楼，现在已知一个鸡蛋从第 \(k\) 层及以上的楼层落下来会摔破，在第 \(k\) 层以下的楼层落下则不会摔破。他想知道在最坏情况下，最少扔多少次鸡蛋才能确定 \(k\) 的大小。
[4] 一群吉祥物表演杂技走钢丝，钢丝长50米，从东向西看，吉祥物们分别分布在钢丝的\(4\)米、\(17\)米、\(19\)米、\(28\)米、\(44\)米处。表演开始时，吉祥物们同时以 \(1m/s\) 的速度向左或向右走，两只吉祥物相遇时，则同时掉头往反方向走，走到钢丝尽头则被热气球接走。考虑所有情况，最晚被接走的吉祥物在钢丝上停留的最长时间可能是多少？对于一般情况，给定 \(n\) 只吉祥物的初始位置坐标 \(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\) ，吉祥物被接走的最早和最晚时刻分别在什么时候？
[5] 某高校举办三行情书大赛，数学系一男生浪漫的写道：
高斯拿走了我的尺规 / 我只好 / 徒手为你画眉
现在假设你高冷的数学女神给你一个圆规，并在纸上画了两个点 \(A\) 和 \(B\) ，你能想办法只用圆规作出线段 \(AB\) 的中点 \(C\) ，博她开心一笑吗？
提示：先作出点 \(D\) ，满足 \(\vec{AD} = 2\vec{AB}\)
[6] 俱乐部主席箱箱学长最近很想玩游戏，于是他决定和你一起玩，游戏是这样的：他带来了一堆糖果，两个人轮流从其中拿走一定数量的糖果，拿走最后所有糖果的人为赢家，不过得遵循如下规则：
- 第一次取不能取完，至少取\(1\)颗
- 从第二次开始，每个人取的糖果数至少为\(1\)，至多为对手刚取的糖果数的两倍
现在让你开始先拿糖果，如果你赢了就能获得全部糖果，输了的话箱箱会收回他的全部糖果。
如果桌上摆着 \(13\) 颗糖果，你会来尝试挑战吗？如果糖果数量为任意正整数 \(n\)，你能想出赢得全部糖果的必胜方案吗？
[7] 好奇的周队发现了一个神奇的\(22\)位数，它的个位数是\(7\)。当她用\(7\)去乘这个\(22\)位数时，发现它的积仍然是个\(22\)位数，只是个位数的\(7\)移到了第一位，其余\(21\)个数字的排列顺序还是原来的样子。请问这个神奇的\(22\)位数是多少？
提示：这道题如果用字母来代表数字，列成算式是：
\(ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU7×7=7ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU\)
[8] TIC里有位大佬，每次在群里出现时所有人都会惊呼：“zk大佬来水群了！！！”，但是wzk是一个非常低调的大佬，他不希望群里一堆菜鸡吹捧自己。于是他以大佬的身份宣布凡是在群里讨论wzk的人（每次提到wzk必是一句完整的“wzk!wzk!wzkNB!”）都会被他用小本本记住。那么问题来了，wzk又是怎么快速察觉到有人讨论他呢？(此题假设TIC群里所有的话都是由字母和符号构成)
请写出用计算机快速判断是否讨论了wzk的方法。
例如：判断wzkwzk!!wzawzk!wzk!NBwzk!! 和 wzk!wzk!wzk!wzkNB两句话中是否谈及wzk（计算机判断字母或者符号是否相同只能一个一个对比）
腾讯创新俱乐部2019年招新笔试答案
问题1
现在问题转化为求 \(2018^{2017^{\dots^{2^1}}}\) 对 50 取余的结果
笔算过程：
19的幂的后三位数周期是50，2018的幂模50周期是4。
2017模4等于1，从1到2016那些数都没用。
19的18次方模1000等于841，这就是答案。
代码实现：
欧拉定理降幂公式 当\(B \ge \varphi (C)\) 时， \(A^B \% C = A^{(B\% \varphi(C)) + \varphi(C)} \% C\)
递归计算得到结果
typedef long long ll;
const int maxn = 3000;
int pri[maxn], tot;
bool vis[maxn];
int phi[maxn];
// 欧拉线性筛
void getPhi(int n) {
vis[1] = 1;
phi[1] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) {
pri[++tot] = i;
phi[i] = i-1;
}
for(int j=1;j<=tot && i*pri[j]<=n;j++) {
vis[i*pri[j]] = 1;
if(i%pri[j]==0) {
phi[i*pri[j]] = pri[j] * phi[i];
break;
} else {
phi[i*pri[j]] = phi[pri[j]] * phi[i];
}
}
}
}
// 快速幂求 a^n % p
ll powmod(ll a, ll n, ll p) {
ll res = 1;
while(n) {
if(n&1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
n >>= 1;
}
return res;
}
ll f(ll a, ll p) {
if(p==1) return 0;
if(a==1) return 1;
ll exp = f(a-1, phi[p]) + phi[p];
return powmod(a, exp, p);
}
// getPhi(2019)
// f(2019, 1000) ==> 841
问题2
分为 \(1\over7\)，\(2\over7\) 和 \(4\over7\) 三部分。
问题3
方法一：
找规律
设 \(f[n]\) 表示 \(n\) 层楼，最少扔鸡蛋次数。
\(f[1] = 1\)
\(f[2] = 2, f[3] = 2\)
$ f[4] = 3, f[5] = 3, f[6] = 3$
$ f[7] = 4,f[8] = 4 ,f[9] = 4 ,f[10] = 4$
\(\dots\)
于是 \(f[100] = 14\)
方法二：
设 \(f[n][k]\) 表示 \(n\) 层楼，\(k\) 个鸡蛋情况下找到答案的最少扔鸡蛋次数。
显然，只有一个鸡蛋时，必须从低层往高层逐层试验，有
有两个鸡蛋时，第一次先从某一层 \(i\) 扔下，如果碎了，就只剩一个鸡蛋，此时答案为 \(1 + f[i-1][1]\)；
没有碎的话，问题相当于求解 \(f[n-i][2]\) 。最坏情况下，我们要取两者的最大值为试验次数。
最优解为 \(i\) 取 1~100 所有尝试的最小值。
所以
即
\(f[0][2] = 0\) ， \(f[1][2] = 1\) , \(f[2][2] = 1\) ，… ，递推得到\(f[100][2]\) 。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf = 1000000;
int dp[110][5];
int f(int n, int k) {
if(n==0) return 0;
if(k==1) return n;
if(n==1) return 1;
if(dp[n][k]!=-1) return dp[n][k];
int ans = inf;
for(int i=1;i<=n;i++) {
ans = min(ans, 1 + max(f(i-1, k-1), f(n-i, k)));
}
return dp[n][k] = ans;
}
int main() {
memset(dp, -1, sizeof(dp));
cout<<f(100, 2)<<endl;
return 0;
}
问题4
两只吉祥物相遇时同时掉头可视为它们穿过对方继续前进，故离另一端最远的吉祥物在钢丝上停留的时间最长。即，例如当位于4米处的吉祥物一开始向西走，其它吉祥物一开始向东走时，在钢丝上停留最久的吉祥物时间可能是（50-4）/ 1 = 46s。
找出最小的 \(x_i\) 和最大的 \(x_j\) ，ans1 = min( \(x_i\) , 50 - \(x_j\) )，ans2 = max( 50 - \(x_i\) , \(x_j\) )
问题5
以 D 为圆心 ，AD 为半径画圆，与圆 A 交 E, F ；
以 E 为圆心， EA 为半径画圆， 以F为圆心，FA 为半径画圆，交点 C 即为所求。
证明：
\(\triangle ACE\) 相似于$ \triangle AED$ \(\Rightarrow\) \(AC \cdot AD = AE\cdot AE\) \(\Rightarrow\) \(AC = {1\over 2} AB = {1\over 2} AE\)
问题6
斐波那契博弈，当糖果数量为斐波那契数时，先手必败。
证明略。
问题7
由低位往高位计算。
答案：1014492753623188405797 * 7 = 7101449275362318840579
ans = '7' # 结果
add = 0 # 进位
now = 7 # 当前位
for i in range(1, 22) :
now = now*7 + add
add = now // 10
now = now % 10
ans = str(now) + ans
res = ('7'+ans)[0:22]
if int(ans)*7 == int(res) :
print('%s * 7 = %s' % (ans, res))
面试得到的新方法：
解得
所以
问题8
字符串匹配，KMP算法 / 字符串哈希
(END)
