数独的生成和破解算法分析

  最近在捉摸数独的破解方法，自己本不是搞软件的，而是电子的。所以虽然写出来了一个，但是方法很笨拙。 在网上查好时，发现了有一种算法的思维与众不同，既简单又高效，不像其他算法一样递归的太深。

     我对作者的代码分析了下，并且给出了点注释。 原网址是：http://blog.pfan.cn/rickone/22806.html

     

     作者的核心思想是她/他说的：

核心算法：深度优先搜索（其它形式的搜索也可以）

数据结构：如果用递归的形式写深搜，定义在函数dfs里的所有变量都可以看成是这里的数据结构，因为它们自动地被系统压入栈内，所以，省了，你唯一要做的就是一个二维数组，存放当前数独的状态。

当然有了这些，偶还不敢动手做，如果你做过马遍历的程序，大概会有点怕，那才8x8，这里是9x9，不来点‘启发式’谁敢动手写程序，有可能一个数独来几千几万个解，一个解要搜80层上下（估计），懂得树这个数据结构的人就会明白，80层是什么概念，1-9有9个数字，就是9叉树，至少是9^80量级的代价，什么？计算机反正算得快？也不行，再快的计算机遇到指数复杂度的程序也得变回傻子！谢天谢地，棋局尺寸是固定不变的，我们需要做的就是，剪枝。

偶的启发式思想来源于偶想数独的思路，数独之所以难是因为可行情况太多，把这种不确定性降低就会使它变得简单。某个格子上可以填的数字的个数就称为它的不确定度吧，首先，如果一开始空格比较少，那空格上的不确定度就小，数独也就相对容易，同时，随着填上去数字增多，剩余空格上的不确定度也会降低，如果某个格子上的不确定度降到1，那这个格子可以先确定下来，如果降到了0，哦，非常遗憾，在前面的填数中一定是填错了，剪枝也发生在这里，你不得不回退。

详细地说，如果把每个空格做为分枝，那要优先选择哪个分枝进行搜索呢？对每个空格计算它的权值，也就是它的不确定度，然后从中选出最小的一个进行搜索，同时放弃其它空格在这一层上的搜索！也就是说对剩余的空格交给子层处理。这样在某一个结点上的处理就包括两步：1，选择最佳空格，2，遍历这个空格的所有可行值，填入空格，递归。

   生成数独的主要代码是： 

 

CSudoku::CSudoku(int n)//参数n表示了需要生成的数独的复杂程度 { int i,j,k,m,mark[10],temp,blanks=0;//蓝色区域代码是用于生成数独 srand(time(0)); for(i=0;i<9;++i) { for(j=0;j<9;++j) map[i][j]=j+1; for(j=0;j<9;++j) { int a=rand()%9; int b=rand()%9; temp=map[i][a]; map[i][a]=map[i][b]; map[i][b]=temp; } } for(i=0;i<9;++i) { for(j=1;j<=9;++j) mark[j]=0; for(j=0;j<9;++j) { if(mark[map[j][i]]) { for(k=8;k>=0;--k) { if(mark[map[j][k]]==0) { temp=map[j][i]; map[j][i]=map[j][k]; map[j][k]=temp; break; } } } else { mark[map[j][i]]=1; } } } for(i=0;i<9;++i) { for(j=1;j<=9;++j) mark[j]=0; for(j=8;j>=0;--j) { if(mark[map[j][i]]) { map[j][i]=0; blanks++; } else mark[map[j][i]]=1; } } for(i=0;i<9;i+=3) { for(j=0;j<9;j+=3) { for(k=1;k<=9;++k) mark[k]=0; for(k=0;k<3;++k) { for(m=0;m<3;++m) { if(map[i+k][j+m]==0) continue; if(mark[map[i+k][j+m]]) { map[i+k][j+m]=0; blanks++; } else mark[map[i+k][j+m]]=1; } } } } while(n>blanks) { m=rand()%81; i=m/9; j=m%9; if(map[i][j]>0) { map[i][j]=0; blanks++; } } printf("(randomized sudoku created with %d blanks.)\n",blanks); }

  对于破解数独代码：

CSudoku::CSudoku(int *data)//根据data初始化一个map[][] { int *pm=(int*)map; for(int i=0;i<81;++i) pm[i]=data[i]; } CSudoku::~CSudoku() { return; } void CSudoku::display()//函数用于打印显示数独 { for(int i=0;i<9;++i) { for(int j=0;j<9;++j) { if(map[i][j]>0) printf("< %d > ",map[i][j]); else printf("[ ] "); } printf("\n"); } } void CSudoku::resolve()//用于解数独的主要切入口函数 { solves=0; dfs(); if(solves==0) printf("(sorry,this sudoku is a bad one.)\n"); } int CSudoku::check(int y,int x,int *mark)//计算(y,x)处格子的不确定度 { int i,j,is,js,count=0; for(i=1;i<=9;++i) mark[i]=0;//初始化 for(i=0;i<9;++i) mark[map[y][i]]=1;//计算该行中已经确定的值对应的mark[i]的变量值为1 for(i=0;i<9;++i) mark[map[i][x]]=1;//计算该列中确定的值 is=y/3*3; js=x/3*3; for(i=0;i<3;++i)//计算九格里面的确定的值 { for(j=0;j<3;++j) mark[map[is+i][js+j]]=1; } for(i=1;i<=9;++i) if(mark[i]==0) count++; return count; } void CSudoku::dfs()//执行的主要函数 { if(solves>=5)//这两句是我自己加的，主要是控制结果的数量。因为一个数独可能有几百种结果，而我们不需要这么多，而且递归次数越多耗时越多 return; int i,j,im=-1,jm,min=10; int mark[10]; for(i=0;i<9;++i) { for(j=0;j<9;++j) { if(map[i][j])//如果不为零时，不确定度为0，不需要计算不确定度了 continue; int c=check(i,j,mark);//用于计算不确定度 if(c==0)//表示不确定度为0，前面的数字填错了，或者是说这个数组本身就存在问题 return; if(c<min)//用于计算最小的不确定度，从最小的不确定度开始搜索 { im=i; jm=j; min=c; } } } if(im==-1)//这是当所有格子里面的数值都确定时显示结果 { printf("No. %d:\n",++solves); display(); return; } check(im,jm,mark); for(i=1;i<=9;++i) { if(mark[i]==0) { map[im][jm]=i;//将所有可能的数值都赋值一次 dfs(); } } map[im][jm]=0;//如果赋的值不满足条件就把这个格子归零，以便于后面的搜索 } #include <iostream> #include "sudoku.h" using namespace std; int main() { int data1[]= {4,9,0,0,0,6,0,2,7, 5,0,0,0,1,0,0,0,4, 6,0,0,0,0,8,0,0,3, 1,0,4,0,0,0,0,0,0, 0,6,0,0,0,0,0,5,0, 0,0,0,0,0,0,2,0,8, 7,0,0,2,0,0,0,0,5, 8,0,0,0,9,0,0,0,1, 3,4,0,5,0,0,0,6,2 }; int data2[]= {7,4,0,0,8,0,0,1,6, 9,0,0,0,3,5,0,0,4, 0,0,0,7,0,0,0,0,0, 0,7,0,0,0,9,5,0,0, 6,1,0,0,5,0,0,8,7, 0,0,2,6,0,0,0,4,0, 0,0,0,0,0,4,0,0,0, 3,0,0,5,6,0,0,0,2, 5,6,0,0,1,0,0,3,9 }; CSudoku s1(data1); s1.display(); s1.resolve(); CSudoku s2(data2); s2.display(); s2.resolve(); return 0; }
  作者后面还给出了改进的算法，就不加以介绍了。