洛谷 P3970 [TJOI2014]上升子序列 题解

之前莫名其妙一直 \(80\) 分，今天突然看到这题，就顺手把它过了。

首先不考虑去重和长度大于 \(1\)，上升子序列个数还是很好求的，大概是 DP 设 \(dp_i\) 表示以 \(a_i\) 结尾的上升子序列个数。转移方程大致如下：

\[dp_i=1+\sum_{j=1}^{i-1}dp_j[a_j<a_i] \]

容易用树状数组或线段树优化至 \(O(n\log n)\)。接下来主要去重的问题。

容易发现的是，如果存在 \(i,j(i<j)\) 满足 \(a_i=a_j\)，那么对于后面一个点 \(k(j<k)\) 的贡献应当只计算 \(j\) 提供的而不计算 \(i\) 的。所以在计算完 \(j\) 的 \(dp_j\) 后，在树状数组中要把 \(dp_i\) 给减掉。这样就不会算重了。

我们可以预处理出每一个 \(a_j\) 前面第一个和它相等的位置 \(a_j\)。这样就可以树状数组了。

最后在减去长度为 \(1\) 的情况。注意要离散化。

代码比较奇怪（离散化用的 map），请理性参考。

// By: Little09
// Problem: P3970 [TJOI2014]上升子序列
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3970
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int n;
const ll mod=1000000007;
const int N=500005;
ll tree[N];
ll a[N],b[N],dp[N];
int used[N],pre[N];
int cnt;
map<int,int>q;
inline int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
inline void add(int x,ll k)
{
	for (;x<=n;x+=lowbit(x)) tree[x]=(k+tree[x])%mod;
}
inline ll ask(int x)
{
	ll ans=0;
	for (;x;x-=lowbit(x)) ans=(tree[x]+ans)%mod;
	return ans;
}
inline int read()
{
    int F=1,ANS=0;
	char C=getchar();
    while (C<'0'||C>'9')
	{
		if (C=='-') F=-1;
		C=getchar();
	}
    while (C>='0'&&C<='9')
	{
		ANS=ANS*10+C-'0';
		C=getchar();
	}
    return F*ANS;
}
int main()
{
	n=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]=read();
	sort(b+1,b+n+1);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (i==1||b[i]!=b[i-1]) q[b[i]]=++cnt;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) 
	{
		int u=q[a[i]];
		pre[i]=used[u];
		a[i]=u;
		used[u]=i;
	}
	dp[1]=1;
	add(a[1],1);
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (pre[i]==0) 
		{
			dp[i]=(ask(a[i]-1)+1)%mod;
			add(a[i],dp[i]);
		}
		else 
		{
			dp[i]=(ask(a[i]-1)+1)%mod;
			add(a[i],dp[i]-dp[pre[i]]);
		}
	}
	ll ans=ask(n);
	for (int i=1;i<=n;i++) ans=(ans-(pre[i]==0));
	cout << ans;
	return 0;
}