【学习笔记】支配树

前言

萌新刚开始学图论入门，今天来学习一下支配树（灭绝树）这个东西。有问题请指出啊。

支配与支配点

在一张有向图 \(G\) 中，对于任意两个点 \(u\), \(v\)，若从起点 \(s\) 出发到达顶点 \(v\) 的所有路径都需要经过顶点 \(u\)，则称顶点 \(u\) 支配顶点 \(v\)（\(u\) 为 \(v\) 的支配点）。特别地，每个顶点支配其自身。

另一种更形象的定义是，\(u\) 被删除后，\(s\) 无法到达 \(v\)，则称顶点 \(u\) 支配顶点 \(v\)（\(u\) 为 \(v\) 的支配点）。

很显然这两种定义是等价的。

支配树

对于非根节点 \(x\)，设距离 \(x\) 最近的支配点为 \(y\)，那么从 \(y\) 向 \(x\) 连一条有向边。形成的树叫做支配树。

支配树最明显的性质：在支配树上，从 \(s\) 走向任意一点 \(u\) 所路过的所有点就是 \(u\) 的支配点。

树的支配树

对于一棵树来说，它本身就是自己的支配树。

DAG 的支配树

我们需要做的，是对于任意非根节点 \(u\)，找到它的最近支配点。

由于是 DAG，考虑先对其进行拓扑排序。接下来按照拓扑序建树。

我们假设考虑到节点 \(u\)，即拓扑序在 \(u\) 之前的节点已经建好了支配树。

我们找到所有存在边 \(v\to u\) 的节点 \(v\)，我们的任务变成了从 \(s\) 到达所有 \(v\) 中的必经点。这个时候会发现，如果我们找到所有 \(v\) 在支配树上的 \(\text{LCA}\)，这个点就是我们要求的 \(u\) 的最近支配点。这一点可以画个图理解。

\(\text{LCA}\) 可以用倍增求出。

注意，需要反向建边才能找到所有 \(v\to u\)。

• P2597 [ZJOI2012]灾难

  模板题。先拓扑，把所有生产者连向一个超级源点 \(s\)，然后建出支配树，输出 \(size\) 即可。

• CF757F Team Rocket Rises Again

  先跑最短路，建出最短路图。由于最短路图是个 DAG，然后和上题一样即可。

一般有向图的支配树

先咕着。