题解 P7099 [yLOI2020] 灼

自己推的好像有一点点麻烦，而且和现有题解相比都要麻烦……

但是只是一道可以用初中数学知识解决的数学题。

题目很显然可以转化为：有 \(1\) 到 \(n\) 共 \(n\) 个点，一个人在点 \(x\)，每次等概率向左或向右走 \(1\) 个点，求走出这 \(n\) 个点（即到 \(0\) 或 \(n+1\) ）的期望步数。（此句中的 \(n\) 与题目的 \(n\) 不同）

考虑设 \(f_i\) 表示在第 \(i\) 个点的期望步数，显然地：

\[f_0=f_{n+1}=0 \]

由对称性：

\[f_i=f_{n-i+1} \]

根据期望的定义可知：

\[f_i=\dfrac{1}{2}(f_{i-1}+f_{i+1})+1(1\le i\le n) \]

稍微转化一下：

\[2\times f_i=f_{i-1}+f_{i+1}+2 \]

\[(f_{i+1}-f_{i})-(f_{i}-f_{i-1})=-2 \]

所以说 \(f\) 的二阶差分一个非零常数 \(-2\)。

设函数 \(g\) 为 \(f\) 的差分，即 \(g_i=f_{i}-f_{i-1}\)。继续推：

\[g_{i+1}-g_{i}=-2 \]

\[g_{i}=g_1-2\times (i-1) \]

由于 \(f_i=g_i+f_{i-1}\)，带入 \(g_i\)：

\[f_i=f_1-2\times (i-1)+f_{i-1} \]

当 \(i=n+1\) 时：

\[f_{n+1}=f_1-2\times n+f_{n} \]

\[0=2\times f_1-2\times n \]

\[f_1=n \]

再推：

\[f_i=\sum_{j=1}^ig_j \]

代入 \(g_j\)：

\[f_i=\sum_{j=1}^i(f_1-2\times(j-1)) \]

\[f_i=i\times f_1-i\times(i-1) \]

由于 \(f_1=n\)，代入就得到最终答案：

\[f_i=-i^2+(n+1)\times i \]

所以代入，对于飞入坐标 \(x\)，上一个虫洞坐标 \(l\)，下一个虫洞坐标 \(r\)，答案为：

\[ans=-(x-l)^2+(r-l)\times (x-l) \]

\[ans=(r-x)\times (x-l) \]

代码已经很简单了，不必放了吧。