【模拟赛题解】0418-years

零、前言

我这个数学菜鸡决定写一下这道变态的巧妙的数学题的题解。

---

一、题目

链接：years

题目大意：求\(\frac{1}{2}∑_{k=0}^m \frac{C_m^k}{C_n^k}\)

---

二、前置知识

比较简单的几个组合数公式，不过多赘述。

·公式1：\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)（定义）

·公式2：\(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\)（展开即证毕）

·公式3：\(C_n^m*C_m^k=C_n^k*C_{n-k}^{m-k}\)（展开即证毕）

---

三、推导

我感觉我写的有些啰嗦了，大佬们不要嫌弃哦

设

\[S=\frac{1}{2}∑_{k=0}^m \frac{C_m^k}{C_n^k} \]

\[2S=∑_{k=0}^m \frac{C_m^k}{C_n^k} \]

(移项)

\[2S=∑_{k=0}^m \frac{C_m^k*C_n^m}{C_n^k*C_n^m} \]

(右边上下同乘\(C_n^m\))

\[2S=∑_{k=0}^m \frac{C_n^k*C_{n-k}^{m-k}}{C_n^k*C_n^m} \]

(代入公式3)

\[2S=∑_{k=0}^m \frac{C_{n-k}^{m-k}}{C_n^m} \]

(消元)

\[C_n^m*2S=∑_{k=0}^m C_{n-k}^{m-k} \]

(\(C_n^m\)不含\(k\)，提出来并移项)

\[C_n^m*2S=∑_{k=0}^m C_{n-(m-k)}^{m-(m-k)} \]

(把\(k\)用\(m-k\)代入，发现式子值不变)

\[C_n^m*2S=∑_{k=0}^m C_{n-m+k}^{k} \]

(括号展开)

\[C_n^m*2S=C_{n-m}^{0}+C_{n-m+1}^{1}+C_{n-m+2}^{2}+...+C_{n}^{m} \]

(展开\(∑\))

\[C_n^m*2S=C_{n-m+1}^{0}+C_{n-m+1}^{1}+C_{n-m+2}^{2}+...+C_{n}^{m} \]

(\(C_{n-m}^{0}=C_{n-m+1}^{0}=1\)，等量代换)

\[C_n^m*2S=C_{n-m+2}^{1}+C_{n-m+2}^{2}+...+C_{n}^{m} \]

(\(C_{n-m+1}^{0}+C_{n-m+1}^{1}=C_{n-m+2}^{1}\)，代入公式3)

·相信读者已经看出来了，接下来就是经典的多米诺骨牌操作（也就是连环马）

\[C_n^m*2S=C_{n+1}^{m} \]

(代入多次公式3)

\[\frac{n!}{m!(n-m)!}*2S=\frac{(n+1)!}{m!(n+1-m)!} \]

(展开\(C\))

\[2S=\frac{n+1}{n+1-m} \]

(消元)

\[∴S=\frac{n+1}{(n+1-m)*2} \]

---

四、尾声

推导已经推出了答案的表达式，可用 \(O(1)\) 完成。代码就不用放了吧。谢谢观看啦。