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详细揭秘 SAM

这个咕了好久

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这个东西很玄乎，大家抽象理解就好。

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首先，SAM 是啥：

• 后缀自动机。

• 每个节点代表一个状态，里面存着一些原串的子串（但是不会在代码中存）。

• 每个节点有转移边指向其他节点，一个字符最多有一条它的转移边。

• 整个 SAM 的节点和转移边构成 DAG（有向无环图）。

• 每个节点有它的 link 指针，指向另外一个节点。

• 整个 SAM 的节点和 link 指针构成一棵内向树。

下面是一些你需要知道的定义：

\(\texttt{endpos}\)：设字符串 \(t\) 的 \(\texttt{endpos}\) 集合表示它在原串 \(s\) 中的出现位置构成的集合，出现位置以最后一个字符定位。

如 \(s=\texttt{aabaaba}\) 中，串 \(\texttt{ab}\) 的 \(\texttt{endpos}\) 即为 \(\{3,6\}\)。

接着，我们将 \(\texttt{endpos}\) 相同的两个串划分到同一个 等价类 中。

例如上面的例子，\(\texttt{aab}\) 和 \(\texttt{ab}\) 就在一个等价类中，这个等价类即为 \(\{\texttt{aab},\texttt{ab}\}\)。

好了。那么现在我告诉你，SAM 每个节点就代表一个等价类。

为了方便说明，现在我们下一些定义：

• 对于一个等价类（节点）\(u\)，设 \(longest(u)\) 表示等价类中最长的字符串，\(maxlen(u) = |longest(u)|\)。类似地，设 \(shortest(u)\) 表示等价类中最短的字符串，\(minlen(u) = |shortest(u)|\)。

现在有一些显而易见的结论：

• 同一个等价类中的字符串，两两之间一定是后缀关系。

因为既然它们 \(\texttt{endpos}\) 相同，从 \(\texttt{endpos}\) 往前延伸，形成的串们一定有某一段后缀相同。

如图，红色是 \(\texttt{endpos}\)，蓝色和绿色是等价类中的两个串。

进一步地，这些串一定都是等价类中最长串的后缀。

• 两个串的 \(\texttt{endpos}\) 要么成包含关系，要么不相交。

这个显然。只要有相交说明这两个串成后缀关系，那么它们 \(\texttt{endpos}\) 必定是一个包含一个的。（跟上图一样）

• 一个等价类 \(u\) 中的串长度连续，覆盖了区间 \([minlen(u),maxlen(u)]\)。

这个也显然，\(longest(u)\) 的所有后缀长度在 \([minlen(u),maxlen(u)]\) 之间的，\(\texttt{endpos}\) 至少会包含 \(longest(u)\) 的 \(\texttt{endpos}\)，又不会比 \(shortest(u)\) 的 \(\texttt{endpos}\) 多。所以它们全都在一个等价类中。

这意味着一个等价类含有的串数即为 \(maxlen-minlen+1\)。

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下面引入 link。

我们定义一个节点（等价类）\(u\) 的 link 指针指向另一个节点（等价类）\(v\)，满足

• \(longest(v)\) 是 \(longest(u)\) 的真后缀。

• 在所有满足上述条件的 \(v\) 中，\(maxlen(v)\) 最大。

换句话说，在 \(longest(u)\) 的后缀中，选一个最长的后缀使得它的 \(\texttt{endpos}\) 与 \(u\) 的 \(\texttt{endpos}\) 不同（前者比后者更大），将 \(u\) 的 link 指向这个 \(\texttt{endpos}\) 代表的等价类。

如图，假设整个字符串是 \(longest(u)\)，那么 link 链的关系应该如图所示。

可以看出来一直跳 link 最后会去到空串，对应的也就是初始状态。

以及把这些等价类的串长区间（也就是图中黑、红、蓝、绿色的括号）并起来，最后会得到 \([0,maxlen(u)]\)。

这个东西也可以这么理解：把 \(longest(u)\) 每次删去头一个字符，随着串变短，在 SAM 原串中出现位置自然会变多（即 \(\texttt{endpos}\) 的扩充）。

按照 \(\texttt{endpos}\) 变大的位置我们把这些后缀划分成很多区间（对应不同的等价类），之间用 link 连接。

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然后是节点的转移边。

这个东西其实很简单：假设当前节点为 \(u\)，它有一条 \(c\) 的转移边指向 \(v\)。

那么你可以理解为把 \(u\) 中的所有字符串后面加上 \(c\) 得到的字符串一定在 \(v\) 中。

因此想要找到一个串在 SAM 中属于的节点，只需要逐个字符地走转移边，走到的节点就是了。

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然后是 link 树。

我们知道，整个 SAM 的节点和 link 指针构成一棵内向树。这是因为每个点不断跳 link 最后都会回到初始节点。

同时，这棵树还是 \(\texttt{endpos}\) “要么成包含关系，要么不相交”关系构成的树。

因为跳 link 的同时 \(\texttt{endpos}\) 也会慢慢增加元素，也就是说越靠近根节点 \(\texttt{endpos}\) 越大。

这棵树有很广泛的用途，一会再讲。

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不讲如何构造。这个东西有点复杂，但是感性理解也能懂。建议背代码

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SAM 有什么用：

• 检查串 \(t\) 是否在串 \(s\) 中出现过。

根据上面所说的，对 \(s\) 建 SAM，把 \(t\) 放上面按照转移边走，能一直走下去就是出现过。

• 求串 \(t\) 在串 \(s\) 中的出现次数。

出现次数就是 \(\texttt{endpos}\) 集合大小。

因此我们对 SAM 的节点预处理 \(siz\) 表示 \(\texttt{endpos}\) 集合大小，找到 \(t\) 对应的节点查询 \(siz\) 即可。

如何预处理？先给出方法：先将 不由复制得到的 节点的 \(siz\) 设为 \(1\)，

对 link 树 dfs 一遍，对每个点 \(u\) 执行 \(siz_u\gets siz_u+siz_v\) 后得到的就是最终的 \(siz\)。

为什么这样是对的？我们考虑每个不由复制得到的节点（下称真节点）。假设它是在加入第 \(k\) 个字符时创建的，

在创建时它的 \(siz=1\)，并会使原串 \(2\sim k\) 的后缀 \(\texttt{endpos}\) 多了一个 \(k\)，即 \(siz\) 加 \(1\)。

因为遍历后缀相当于跳 link，所以这相当于把这个真节点在 link 树上到根的路径全部 \(+1\)。

这个和求子树和的效果是一样的，与我们用求子树和的方法最后处理效果一致。

• 求串 \(s\) 的本质不同子串数量。

SAM 已经帮你把相同的子串压缩在一起了。

我们知道一个节点含有的串数即为 \(maxlen-minlen+1\)，我们对所有节点的这个值求和再 \(-1\)（空串）即可。

• 找到串 \(s\) 的一个子串 \(s_{l,r}\) 在 SAM 中对应的节点。

这个非常有用，在一些关于区间的题里会常用到。（如 CF666E）

子串 \(s_{l,r}\) 就是前缀 \(s_{1,r}\) 的一段后缀。

我们考虑对于每个前缀先预处理出它在 SAM 中属于的节点。

然后从前缀 \(s_{1,r}\) 属于的节点开始，不断跳 link（相当于遍历该前缀的后缀），直到当前 \(maxlen<=r-l+1\)。

由于跳 link 过程中 \(maxlen\) 是不断减小的，我们可以用倍增代替这个暴力跳的过程。

这样单次询问复杂度就做到了 \(\mathcal O(log n)\)。