已严肃完成今日特征多项式大学习

何为特征值与特征向量

古人云：

特征向量，乃方阵与线性变换之特征也。

盖线性变换，千变万化，寻不变其所向之向量，乃特征向量也。

注意 0 向量不是特征向量。

何为特征值？线性变换中特征向量的伸长倍数，称该特征向量属于该特征值。

容易知道与一个特征向量共线的向量均为特征向量。

设其中一个特征值为 \(\lambda\)。

我们于是知道：\(\lambda I_n - A\) 是奇异的。

因为把它对应的任意一个特征向量带进去会变成 0 向量，压扁了，行列式为 \(0\)。

何为特征多项式

古人又云：

特征多项式，\(x I_n - A\) 之行列式也。

容易知道其的 \(n\) 个根就是那些特征值。（可能有重根）

求解特征值和特征向量只需要算出特征多项式再解方程即可。

何为相似变换

古人云不出来了。

\(A\) 与 \(PAP^{-1}\) 相似。

容易证明相似的矩阵特征值相同，反之不然。

记 \(tr A\) 为 \(A\) 的迹，是其主对角线之和。

定理：相似矩阵迹相等。

定理2:不一定是方阵的 \(A,B\)，则 \(tr AB = tr BA\)。

定理3（Schur）:任意方阵相似于一个上三角阵。

推论：\(f(A)\) 的所有特征值为 \(f(\lambda_A)\)。

Hessenberg 算法：见 oiwiki

何为 Cayley–Hamilton 定理

省流：\(f(A)=0\)，推论：任意方阵的 \(n\) 次方都可以由 \(1\) 到 \(n-1\) 次方线性组合得到。

利用推论进行快速计算即可。