【算法】数论

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前言

疑似是有点不会数学了，照着题解推式子都推了小半个下午，还看不出来减法公式，唉。

题解

考虑把这些 \(f(a,b)\) 异或起来再模一个数不会有很好的性质，所以要把每一个 \(f(a,b)\) 都算出来。

由加法公式得

\[f(a,b)=\sum \ \tbinom{b}{i}\tbinom{n-i}{a} \]

\[= \sum \tbinom{b-1}{i}\tbinom{n-i}{a}+\sum \tbinom{b-1}{i-1}\tbinom{n-i}{a} \]

\[=f(a,b-1)+\sum\tbinom{b-1}{i}\tbinom{n-i-1}{a} \]

再想办法把加号后面的式子用 \(f\) 表示。

由减法公式得

原式=

\[f(a,b-1)+\sum \tbinom{b-1}{i}\tbinom{n-i}{a}-\sum \tbinom{b-1}{i}\tbinom{n-i-1}{a-1} \]

\[2 \times f(a,b-1)-\sum \tbinom{b-1}{i}\tbinom{n-i-1}{a-1} \]

接着表示减号后面的

原式=

\[2 \times f(a,b-1)-(\sum \tbinom{b}{i+1}\tbinom{n-i-1}{a-1}-\sum\tbinom{b-1}{i+1}\tbinom{n-i-1}{a-1}) \]

\[=\sum \tbinom{b}{i}\tbinom{n-i}{a-1}-\sum\tbinom{b-1}{i}\tbinom{n-i}{a-1} \]

\[=f(a-1,b)-f(a-1,b-1) \]

(后面省略了减号之前的部分)

整理得

\(f(a,b)=2 \times f(a,b-1)-f(a-1,b)+f(a-1,b-1)\)

然后就递推算每一个 \(f(a,b)\) 就行了。

这里要注意一下边界。

然后复杂度是 \(O(m^2)\) 的。