快速幂+费马小定理的简单应用

参考：

(49条消息) 快速幂算法（全网最详细地带你从零开始一步一步优化）_刘扬俊的博客-CSDN博客_快速幂算法

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

核心：

若幂指数不为0，幂指数变为原来的一半，基数等于基数的平方

计算所有幂指数为奇数项的乘积。

1.用power&1代替power%2!=0:

如果power为偶数，则其二进制表示的最后一位一定是0；如果power是奇数，则其二进制表示的最后一位一定是1。将他们分别与1的二进制做“与”运算，得到的就是power二进制最后一位的数字了，是0则为偶数，是1则为奇数。

 

2.对于power=power/2来说，也可以用更快的“位运算”进行替代，我们只要把power的二进制表示向右移动1位就能变成原来的一半了。

 

//模板
long long fastPower(long long base, long long power) {
    long long result = 1;
    while (power > 0) {
        if (power & 1) {//此处等价于if(power%2==1)
            result = result * base % 1000;
        }
        power >>= 1;//此处等价于power=power/2
        base = (base * base) % 1000;
    }
    return result;
}

 

//2的1000000000次方的后三位
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long fastpower(int base,int power)
{
    long long r=1;
    while(power>0)
    {
        if(power&1)
        {
            r=r*base%1000;
        }
        power>>=1;
        base=base*base%1000;
    }
    return r;
}
int main()
{
    long long base,power;
    cin>>base>>power;
    cout<<fastpower(base,power)<<endl;
    return 0;
}

 

 

扩展：

费马小定理：

A^B%p=[A^B%(P-1)]%P;

例：

求(A^B^C)%P;

因为：A^B=[A^B%(P-1)]%P

所以把B换成B^C得：

A^B=[A^(B^C)%(P-1)]%P

 

“蓝桥杯”练习系统 (lanqiao.cn)

输入格式

一行，三个整数A，B，C，以空格隔开。

输出格式

输出A的B的C次方次方%1,000,000,007。

样例输入

3 4 5

样例输出

763327764

数据规模和约定

0≤A,B,C≤1,000,000,000

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
ll power(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(b>0)
    {
    if(b&1) 
    ans=ans*a%p;
    b>>=1;
    a=a*a%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll a,b,c;
    cin>>a>>b>>c;
    ll p=1000000007;
    cout<<power(a,power(b,c,p-1),p)<<endl;
}