约瑟夫环

背景

  讲的是罗马士兵包围了N个犹太人，犹太人不想被俘虏，所以决定围成一个圈，依次编号为1，2，3……N, 从1号开始，依次杀死左手边的人，最后一个人再自杀，但约瑟夫不想死，所以他要成为最后一个人，然后被俘虏。需要找出其编号（最后一个人）。

题目

  背景故事太过于固定了，所以进行拓展一下：假设存在N个人，依次编号为1，2，3……N，从一号开始报数，当报道M号时，其被杀死，然后下一个人重新从1号开始报数，一样到M号被杀死……，最后剩下一个人，他的编号是多少？

分析

  用数组来模拟这个问题（下标 = 编号 - 1），假设 N 人参与，剩下最后一人的下标为 \(f(N,M)\) ，那么可知 N - 1 人参与，剩下最后一人的下标是 \(f(N - 1,M)\) 。

1. 假设已知 \(f(N,M)\) 的值，那么对于 \(f(N - 1,M)\) 值呢？

   • 先杀死编号为M的人，然后从M+1号开始，那么剩下的人数为N-1，所以再将所有序号 - M，则编号有以下对应情况：

     \[ …… M - 2 \rightarrow -2,M - 1 \rightarrow -1, M + 1 \rightarrow 1, M + 2 \rightarrow 2, M + 3 \rightarrow 3, …… \]

     对于越界情况：

     \[ …… -3 \rightarrow N - 3, -2 \rightarrow N - 2, -1 \rightarrow N - 1, …… \]

     那么就和 N - 1人数模型一模一样了。

2. 那么假设已知 \(f(N - 1,M)\) 的值，对于 \(f(N,M)\) 值呢？

   • 这个就是列表 1 的逆推，先将编号向右添加M,即对应下标\(f(N - 1,M) + M\) ，为了防止越界，则进行取余处理，可以得到\(f(N,M) = (f(N - 1,M) + M)\) % \(N\)，这就是递推公式了。

3. 直接理解列表2，是有一定困难的，但是从列表 1 来理解列表 2，就非常容易了。对于列表 1，其越界情况表达式较复杂，而且是为列表 2 服务的，理解原理就行了，就不写出推导公式了。

代码

int JosephRing(const int& N,const int& M) {
	/* 人数为 1 时，最后剩余人的编号-1 */
	int ans = 0;

	/* 这里的 i 是模型的人数n */
	for(int i = 2;i <= N;i++) {
		ans = (ans + M) % i;
	}

	/* 数组从0开始，加 1 ，跟编号对应 */
	return ans + 1;
}