素数

定义

  素数又称作质数，是大于 1 且只能被 1 和 本身 整除的整数

  合数是大于 1 且 不是 素数的数。

算法

第一种（判断）

  通过定义及数学上的原理，判断出素数，为什么到sqrt(x)，因为如果x是合数，它
拆分的两个因数一个 >= sqrt(x)，一个<= sqrt(x)，所以较小的因数的最大可能值就是sqrt(x)。

实现

bool isPrime(int x) {  
    bool prime = true;  
    if (x < 2) {  
        prime = false;  
    } else  
        for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++) {  
            if (x % i == 0) {  
                prime = false;  
                break;  
            }        
        }    
        return prime;  
}

第二种（选择）

  利用素数表进行，通过它作为除数，对其他数进行整除判断。

原理

  任何一个合数都可以分解为一个素数与另一个整数的乘积。 所以只要整数可以被（除自己以外）素数整除，必然是合数。

  证明一下：对于任意一个合数n，它可以被分解为两个整数的乘积。分为两种情况：

1. 俩都是合数
2. 其中一个是素数

  对于第二种情况，自然满足命题；

  那么对于第一种情况，任取一个合数，又可以分解为两个因数，重复此步骤，要么存在素数,要么都是合数，每一次分解数的值在缩小，最后会要么得到素数，要么得到最小的合数4。而4可以分解成2 * 2，得到素数，自然命题成立。

实现

void selectSimple(int x) {  
  
    /* 初设几个素数 */    
    nums[0] = 2;  
    nums[1] = 3;  
	int count = 2;
	
    if (x <= 1) {  
        count = 0;  
    } else if (x == 2 || x == 3) {  
        count = x - 1;  
    } else  
        for (int i = 4; i <= x; i++) {
	          /* 利用素数表判断 */
            for (int j = 0; j < count; j++) {  
                if (i % nums[j] == 0) {  
                    break;  
                }  
                /* 将素数加入素数表中 */                
                if (j == count - 1) {  
                    nums[count] = i;  
                    count++;  
                }
                            
            }        
        }  
        
    for (int i = 0; i < count; i++) {  
        std::cout << nums[i] << ' ';  
    }
}

第三种（选择）

  前面介绍的基本是通过定义进行判断，现在介绍一种思想，排除筛查，就是通过已找出的素数（它们的倍数一定不是素数），排除一定范围内的合数，剩下的就是素数。

实现

/*收集0 ~ nums.size() - 1中的素数*/
void selectPrime(vector<int> &nums){  
    /*假定都是素数*/
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {  
        nums[i] = 1;  
    }    
    /*最小的素数2*/
    for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {  
        if (nums[i] == 1) {  
	        /*从 i*i 开始，因为之前的素数将0 ~ i*i 的合数排除了*/
            for (int j = i*i; j < nums.size(); j += i){  
                nums[j] = 0;  
            }
        }    
    }  
}

	/* 输出素数 */
	for (int i = 2; i < nums.size(); i++){
		if (nums[i] == 1) {
			cout << i << ' ';
		}
	}