中国剩余定理 学习总结

中国剩余定理

前置芝士

同余方程

问题

现给定一个方程组：\(\begin{cases}x\equiv a_1(mod\ m_1)\\x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ \cdots \cdots\\x\equiv a_n(mod\ m_n)\\\end{cases}\)，需要求出\(x\)的值

分析

来举个简单的例子：

\[\begin{cases}x\equiv 2(mod\ 3)\\x\equiv 3(mod\ 5)\\x\equiv 2(mod\ 7)\\\end{cases} \]

我们用递推的思想把一个大问题转化为小问题。先求出以下三个方程组的解。

\[\begin{cases}x\equiv 1(mod\ 3)\\x\equiv 0(mod\ 5)\\x\equiv 0(mod\ 7)\\\end{cases}，\begin{cases}x\equiv 0(mod\ 3)\\x\equiv 1(mod\ 5)\\x\equiv 0(mod\ 7)\\\end{cases}，\begin{cases}x\equiv 0(mod\ 3)\\x\equiv 0(mod\ 5)\\x\equiv 1(mod\ 7)\\\end{cases} \]

举第一个方程的例子，可以转化为\(35y\equiv 1(mod\ 3)\)。

这时候，我们可以把方程组转化为同余方程来做。

而最先的那个方程组就可以用这些答案来表示。

我们用\(\begin{bmatrix}2\\3\\2 \end{bmatrix}\)来表示\(\begin{cases}x\equiv 2(mod\ 3)\\x\equiv 3(mod\ 5)\\x\equiv 2(mod\ 7)\\\end{cases}\)，则最后可以写成这样：

\[\begin{bmatrix}2\\3\\2 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\1\\0 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix} \]

这样，代码的实现就很显然了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register int
const int INF=1<<30;
const int mod=1e9+3;
using namespace std;

template <typename T>
inline void read(T &x) { 
    x = 0;
    ll f = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch)) {
        x = x * 10 + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= f;
    return;
}
template <typename T>
inline void write(T x){
    if(x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x; 
    } 
    if(x > 9) 
        write(x/10); 
    putchar(x % 10 + '0'); 
    return; 
}
ll n,a[15],b[15],M=1,res;
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
    if(!b) {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll q=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}
int main() {
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
		read(a[i]),read(b[i]); 
    for(re i=1;i<=n;i++)
		M*=a[i];
    for(re i=1;i<=n;i++) {
        ll m,p,d,y;
        m=M/a[i];
		d=exgcd(m,a[i],p,y);
        res=(res+m*p*b[i])%M;
    }
    if(res<0) res+=M;
    write(res);
}