P3197 [HNOI2008]越狱 题解

P3197 [HNOI2008]越狱

题目描述

监狱有 \(n\)个房间，每个房间关押一个犯人，有\(m\)种宗教，每个犯人会信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

答案对 \(100,003\)取模。

输入格式

输入只有一行两个整数，分别代表宗教数 \(m\) 和房间数\(n\)。

输出格式

输出一行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

6

说明/提示

样例输入输出 1 解释

状态编号	1 号房间	2 号房间	3 号房间
1	信仰 1	信仰 1	信仰 1
2	信仰 1	信仰 1	信仰 2
3	信仰 1	信仰 2	信仰 2
4	信仰 2	信仰 1	信仰 1
5	信仰 2	信仰 2	信仰 2
6	信仰 2	信仰 2	信仰 1

数据规模与约定

对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \le m \le 10^8\)，\(1 \le n \le 10^{12}\)。

题解

题目分析

这题要我们求的是有几种情况是会发生越狱的，我们可以把它转化成所有的情况减去不会发生越狱的情况的数量。

相对来说，后者的表示是比较简单的，通过推公式可以知道。

\[ans=m^n-m*(m-1)^{n-1} \]

推出公式以后，代码也就很好实现了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int mod=100003;
using namespace std;
ll n,m;
inline ll qpow(ll a,ll b){//快速幂模板
    ll x=1,y=a;
    while(b>=1){
        if(b%2==1) x=x*y%mod;
        y=y*y%mod;
        b/=2;
    }
    return x;
}
int main() {
    read(m),read(n);
    cout<<(qpow(m,n)-(m*qpow(m-1,n-1))%mod+mod)%mod;//注意后面要先加一个mod再%,否则容易出现负数。这题的70分就是怎么来的qwq
}