闵可夫斯基和学习笔记

闵可夫斯基和

• 给定两个向量空间 \(A\) 和 \(B\)，则闵可夫斯基和 \(A+B={a+b,a\in A,b\in B}\)。当 \(A\) 和 \(B\) 都是凸包时，他们的闵可夫斯基和也是凸包。

• 考虑当 \(A\) 的轮廓是凸函数 \((i,f_i)\)，\(B\) 的轮廓是凸函数 \((j,g_j)\) 时，\(A+B\) 的轮廓就是 \((k,\max_{i+j=k}f_i+g_j)\)。这也说明了为什么这里的 \(\max/\min\) 加法卷积能保持函数的凸性。

• 当 \(f\) 和 \(g\) 都是凸函数时，他们的 \(\min\) 加法卷积 \(h_k=\min_{i+j=k}f_i+g_j\) 有如下的快速计算方式：

• 考虑对 \(f\) 和 \(g\) 做差分，有 \(a_i=f_i-f_{i-1}\) 和 \(b_i=g_i-g_{i-1}\)。那么 \(h_k\) 本质上就是取 \(a\) 的一个前缀的 \(b\) 的一个前缀，使得取得的元素个数为 \(k\) 且元素和最小。因为 \(a\) 和 \(b\) 递增，因此本质上就是对 \(a\) 和 \(b\) 两个数组进行归并排序，\(h_k\) 就是前 \(k\) 个元素的和。也就是说，卷积后函数的斜率，等于卷积前两个函数的斜率做归并排序，这让我们可以快速对凸函数完成卷积转移。

例题

• 2023ICPC 亚洲南京站 D

• 这道题和使用 Slope trick 的烟火表演很像但不一样，因为 \(i\) 和 \(fa[i]\) 之间的距离 \(l\in\{0,1\}\)，所以 DP 函数右侧的拐点个数不等于儿子个数，无法直接维护最小值区间。

• 先列出 DP 方程，设 \(f(u,x)\) 表示以 \(u\) 为根的子树满足红黑树性质，且从 \(u\) 到任意后代叶子结点路径上都有 \(x\) 个黑色点需要的最少修改次数，\(g(u,0/1)\) 是让节点 \(u\) 变红/黑的代价。于是有了一个 naive 的方程：

\[f(u,x)=\min_{i\in\{0,1\}}(g(u,i)+\sum_{v\in son(u)}f(v,x-i)) \]

• 可以证明 \(f(u,x)\) 关于 \(x\) 是凸的，因为 \(g(u,0/1)\) 是凸的（仅有两个点），两个凸序列的 \(\min\) 加法卷积的结果还是凸的。

• 我们像烟火表演中那样维护差分数组。由于 \(f(u,x)\) 中的 \(x\) 的取值范围是子树深度的 \(\min\)，因此 \(\sum\) 部分可以直接把子树合并起来，复杂度是 \(O(n)\) 的（可以用长链剖分证明）。而 \(g\) 的差分是 \(\pm1\)，因此我们还需要支持往差分数组里插入 \(1\) 或者 \(-1\)，并维持数组的单调性，这一步就对应了我们快速维护闵可夫斯基和转移。

• 可以使用两个 vector，一个 vector 存所有负数，一个存所有整数，再开一个变量表示有几个 \(0\)。这时插入 \(1\) 就是在正数 vector 的开头插入，插入 \(-1\) 就是往负数 vector 的末尾插入。\(u\) 的答案就是 \(f(u,0)\) 加上差分数组的最小前缀和，也就是负数 vector 的元素之和。这样做复杂度是 \(O(n)\) 的。