贪心算法 - 交换论证法

交换论证的一般步骤

1. 定义“第 i 步”的贪心选择
   明确你的贪心算法在第 i 步会选什么样的元素/操作，记作 \(g_i\)。

2. 假设存在一个最优解 OPT
   用 \((o_1, o_2, \dots, o_m)\) 表示它在各步的选择。

3. 对第 i 步做区分

   • 若 \(o_i = g_i\)
     这一步两者一致，不需要任何修改。我们就把问题“规模”看作从 \(n\) 变为 \(n-1\)（或者可行解剩下的子问题），接着递归/归纳处理第 i+1 步。

   • 若 \(o_i \neq g_i\)
     这时构造一个新的解 OPT′：

     1. 在第 i 步，用 \(g_i\) 替换 \(o_i\)。
     2. 保留 OPT 中后面的选择（必要时做少量调整以保证可行性）。
     3. 证明：替换后得到的 OPT′ 的目标值不劣于 OPT。
     4. 同样把剩余子问题规模缩小，递归地对第 i+1 步继续交换论证。

4. 终止与归纳
   当子问题规模减到最小（如没有元素可选）时，显然贪心和最优解都得到了最优值。向上回溯可得，原问题的贪心解与某个最优解在每一步都保持一致或“不差于”它，故贪心解全局最优。

---

小贴士

• 可行性：每次“替换”之后要保证新解仍满足题目所有约束（比如不重叠、交替、容量限制等）。
• 不退步：重点在于证明“用 \(g_i\) 替换 \(o_i\)”不会让整体目标变差。
• 规模缩小：要保证替换后，剩下的子问题和原问题“同构”且更小，这样才能用归纳。

掌握了这种“分两种情况（相同/不同）→ 直接递归或交换替换→ 归纳”的套路，就能快速、严谨地给出大多数贪心算法的正确性证明。