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[转载]蔡勒(Zeller)公式——计算任意一天是星期几

Posted on 2015-08-14 10:56 sgao 阅读(...) 评论(...)  编辑 收藏

转载说明:文章将一月二月转成13月14月去掉平闰年的影响这段推导(公式4,公式5)经验算是错误的,还是需要判断平闰年,举例2013-1-1应该是星期二,如果用公式5算出来是星期一,少算了一个闰年。参见:http://www.cnblogs.com/igaoshang/p/DayOfWeek.html

历史上的某一天是星期几?未来的某一天是星期几?关于这个问题,有很多计算公式,其中最著名的是蔡勒 (Zeller)公式,即    

   W=[C/4]-2C+Y+[Y/4]+[13×(M+1)/5]+D-1,

或者是

   W=Y+[Y/4]+[C/4]-2C+[26×(M+1)/10]+D-1

公式都是基于 公历 的置闰规则来考虑。 公式中的符号含义如下:

  • W:星期

  • C:世纪数减一 (年份前两位数)

  • Y:年(年份后两位数)

  • M:月(M的取值范围为3至14,即在蔡勒公式中,某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算,比如2003 年1月1日要看作 2002 年的13月1日来计算)

  • D :日

  • []:称作高斯符号,代表取整,即只要整数部份

  • mod:同余‎这里代表括号里的答案除以7后的余数

算出来的除以7,余数是几就是星期几。如果余数是0,则为星期日。

   不过,以上的公式都只适合于1582年(我国明朝万历十年)10 月15日之后的情形。罗马教皇格里高利十三世在1582年组织了一批天文学家,根据哥白尼日心说计算出来的数据,对儒略历作了修改。将1582年10月5 日到14日之间的10天宣布撤销,即10月4日之后为10月15日。若要计算的日期是在1582年10月4日或之前,其公式为    

   W=Y+[Y/4]+[C/4]-2C+[13×(M+1)/5]+D+3.

  以2049年10月1日(100周年国庆)为例,用蔡勒(Zeller)公式进行计算,过程如下:

   W=Y+[Y/4]+[C/4]-2C+[26×(M+1)/10]+D-1

     =49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26×(10+1)/10]+1-1             
     =49+[12.25]+5-40+[28.6]

     =49+12+5-40+28

     =54

54除以7余5, 即2049年10月1日(100周年国庆)是星期5。

 

过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看)

    星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六天时间创世纪,第七天休息,所以人们也就以七天为一个周期来安 排自己的工作和生活,而星期日是休息日。从实际的角度来讲,以七天为一个周期,长短也比较合适。所以尽管中国的传统工作周期是十天(比如王勃《滕王阁序》 中说的“十旬休暇”,即是指官员的工作每十日为一个周期,第十日休假),但后来也采取了西方的星期制度。

  在日常生活中,我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候,我们还想知道历史上某一天是星期几。通常,解决这个方法的有效办法是看日历,但是我们总 不会随时随身带着日历,更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中计算某一天是星期几,预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是 不是有办法通过什么公式,从年月日推出这一天是星期几呢?

  答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如,知道了2004年5月1日是星期六,那么2004年5月31日“世界无烟日”是星 期几就不难推算出来。我们可以掰着指头从1日数到31日,同时数星期,最后可以数出5月31日是星期一。其实运用数学计算,可以不用掰指头。我们知道星期 是七天一轮回的,所以5月1日是星期六,七天之后的5月8日也是星期六。在日期上,8-1=7,正是7的倍数。同样,5月15日、5月22日和5月29日 也是星期六,它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28,也都是7的倍数。那么5月31日呢?31-1=30,虽然不是7的倍数,但是31除以 7,余数为2,这就是说,5月31日的星期,是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。

  这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路:首先,先要知道在想算的日子之前的一个确定的日子是星期几,拿这一天做为推算的标准,也就是相当于一个计 算的“原点”。其次,知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天,用7除这个日期的差值,余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。 如果余数是0,就表示这两天的星期相同。显然,如果把这个作为“原点”的日子选为星期日,那么余数正好就等于星期几,这样计算就更方便了。

   但是直接计算两天之间的天数,还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月1日之间相隔7947天,就不是一下子能算出来的。它包括三段时 间:一,1982年7月29日以后这一年的剩余天数;二,1983-2003这二十一个整年的全部天数;三,从2004年元旦到5月1日经过的天数。第二 段比较好算,它等于21×365+5=7670 天,之所以要加5,是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了,比如第三段,需要把5月之前的四个月的天数累加起来,再加上日期值,即 31+29+31+30+1=122天。同理,第一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来,再加上7月剩下的天数,一共是155天。所以总共的相隔天数 是122+7670+155=7947天。

   仔细想想,如果把“原点”日子的日期选为12月31日,那么第一段时间也就是一个整年,这样一来,第一段时间和第二段时间就可以合并计算,整年的总数正好相当于两个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日(或者天文学家所使用的公元0年12月31日), 这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这样简化之后,就只须计算两段时间:一,这么多整年的总天数;二,想算的日子是这一年的第几天。巧的是,按 照公历的年月设置,这样反推回去,公元前1年12月31日正好是星期日,也就是说,这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就只有一 个:这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。

   我们知道,公历的平年是365天,闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在2月加一天,但能被100整除的不闰,能被400整除的又闰。因此,像 1600、2000、2400年都是闰年,而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年,按公历也是闰年。因此,对于从公元前1年 (或公元0年)12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年
中的闰年数,就等于

   [(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400],

    [⋯]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数,第二项表示需要去掉被100整除的年份数,第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一,这样,我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式:

   W=365×(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+D.                      (1)

其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年(或公元0年)12月31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除,余数是几,这一天就是星期几。比如我们来算2004年5月1日:

   W=365×(2004-1)+[(2004-1)/4]-[(2004-1)/100]+[(2004-1)/400]+(31+29+31+1)=731702,

731702 除以7余数为六,说明这一天是星期六。这和事实是符合的。

  上面的公式(1)虽然很准确,但是计算出来的数字太大了,使用起来很不方便。仔细想想,其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是不是可以简化这个W值,只要找一个和它余数相同的较小的数来代替,用数论上的术语来说,就是找一个和它同余的较小的正整数,照样可以计算出准确的星期数。

 显然,W这么大的原因是因为公式中的第一项365×(Y-1)太大了。其实,

   365×(Y-1)=(364+1)×(Y-1)

                  =(7×52+1)×(Y-1)

                  =52×(Y-1)×7+(Y-1)                

    这个结果的第一项是一个7的倍数,除以7余数为0,因此365×(Y-1)除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为:

   (Y-1)×365≡Y-1)(mod7).

其中,≡是数论中表示同余的符号,mod7的意思是指在用7作模数(也就是除数)的情况下≡号两边的数是同余的。因此,完全可以用(Y-1)代替365×(Y-1),这样我们就得到了一个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式:

    W=(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+D.                           (2)

  这个公式虽然好用多了,但还不是最好用的公式,因为累积天数D的计算也比较麻烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢?答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各个月的日数,列表如下:

 

 月  份

 1  月

 2  月

3  月 

4  月 

5  月 

6  月 

7  月 

8  月 

9  月 

10  月 

11  月 

 12  月

 天 数

 31

 28(29)

 31

30 

31 

30 

31 

31 

30 

31 

30 

31 

如果把这个天数都减去28(=4×7),不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张表:

 

 月      份

1  月 

 2  月

3  月 

4  月 

5  月 

 6  月

7  月 

8  月 

9  月 

10  月 

11   月 

12  月 

 剩余天数

0(1) 

 平年积累

11 

13 

16 

19 

21 

24 

26 

29 

闰年积累

12 

14 

17 

20 

22 

25 

27 

30 

仔细观察的话,我们会发现除去1月和2月,3 月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3;8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3,正好是一个重复。相应的累积天数中,后一月的 累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的存在,平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达:

   d={D(当M=1),31+D(当M=2),[(13×(M+1)/5)]-7+28×(M-1)+D+i(当M≥3),       (3)    

其中[…]仍表示只取整数部分;M和D分别是想算的日子的月份和日数;平年i=0,闰年i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下:[13×\Div(M+1)5]-7算出来的就是上面第二个表中的平年累积值,再加上28×(M-1)就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一个很巧妙的办法,利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如,对2004年5月1日,有:

   d=[13×(5+1)/5]-7+28×(5-1)+1+1=122,

这正是5月1日在2004年的累积天数。

  假如,我们再变通一下,把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”,不仅仍然符合这个公式,而且因为这样一来,闰日成了上一“年”(一共有14个月)的最后一天,成了d的一部分,于是平闰年的影响也去掉了,公式就简化成:

   d=[13×(M+1)/5]-7+28×(M-1)+D .      (3≤M≤14)              (4)

上面计算星期几的公式,也就可以进一步简化成:

   W=Y-1+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+[13×(M+1)/5]-7+28×(M-1)+D.

因为其中的-7和28×(M-1)两项都可以被7整除,所以去掉这两项,W除以7的余数不变,公式变成:

   W=Y-1+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+[13×(M+1)/5]+D.       (5)

当然,要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月,因此在计算1月和2月的日子的星期时,除了M要按13或14算,年份Y也要减一。比如,2004年1月1日是星期四,用这个公式来算,有:

   W=2003-1+[(2003-1)/4]-[(2003-1)/100]+[(2003-1)/400]+[13×(13+1)/5]+1 

       =2002+500-20+5+36+1

       =2524;
\Div25247=360⋯⋯4.这和实际是一致的。

  公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了,但它还不是最简练的,对于年份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期,列表如下:

 

 年     份

1 (401,801,...,2001)

101(501,901,...,2101) 

201(601,1001,...,2201) 

301(701,1101,...,2301) 

 星    期

 4

 2

 0

 5

可以看出,每隔四个世纪,这个星期就重复一次。 假如我们把301(701,1101,…,2301) 年3月1日的星期数看成是-2(按数论中对余数的定义,-2和5除以7的余数相同,所以可以做这样的变换),那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,- 2的等差数列。据此,我们可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式:

   W=2×(4-Cmod4)-4.                                                      (6)

式中,C是该世纪的世纪数减一,mod表示取模运算,即求余数。比如,对于2001年3月1日,C=20,则:

   W=2×(4-20mod4)-4

      =8-4

      =4 .

   把公式(6)代入公式(5),经过变换,可得:

   Y-1+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]≡2×(4-Cmod4)-1(mod7).        (7)

因此,公式(5)中的Y-1+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]这四项,在计算每个世纪第一年的日期的星期时,可以用2×(4-Cmod4)-1来代替。这个公式写出来就是:

   W=2×(4-Cmod4)-1+[13×(M+1)/5]+D                                 (8)

有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式,计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。因为在一个世纪里,末尾为00的年份是最后一年, 因此就用不着再考虑“一百年不闰,四百年又闰”的规则,只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公式(2)的方法,我们很容易就可以从式 (8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式:

   W=2×(4-Cmod4)-1+Y-1+[Y/4]+[13×(M+1)/5]+D.               (9)

式中,y是年份的后两位数字。

  如果再考虑到取模运算不是四则运算,我们还可以把2×(4-Cmod4)进一步改写成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系:

   4q+r=C,

其中r即是Cmod4,因此,有:

   r=C-4q 

    =C-4×[C/4]   .                                                             (10)

   2×(4-Cmod4)=2×(4-C+4×[C/4])

                          =8-2C+8×[C/4]

                         ≡[C/4]-2C+1(mod7).                                  (11)

把式(11)代入(9),得到:

   W=[C/4]-2C+Y+[Y/4]+[13×(M+1)/5]+D-1.                            (12)

     这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W,再除以7,得到的余数是几就表示这一天是星期几,唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月,C和y都 按上一年的年份取值。因此,人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒(Christian Zeller, 1822-1899)在1886年推导出的,因此通称为蔡勒公式(Zeller’s Formula)。为方便口算,式中的[13×(M+1)/5]也往往写成[26×(M+1)/10]。

 现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期,显然C=20,y=4,M=5,d=1,代入蔡勒公式,有:

   W=[20/4]-40+4-1+[13×(5+1)/5]+1-1=-15.

    注意负数不能按习惯的余数的概念求余数,只能按数论中的余数的定义求余。为了方便计算,我们可以给它加上一个7的整数倍,使它变为一个正数,比如加上70,得到55。再除以7,余6,说明这一天是星期六。这和实际是一致的,也和公式(2)计算所得的结果一致。

  最后需要说明的是,上面的公式都是基于公历(格里高利历)的置闰规则来考虑的。对于儒略历,蔡勒也推出了相应的公式是:

   W=5-C+Y+[Y/4]+[13×(M+1)/5]+D-1.                                   (13)

 这样,我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。