高维前缀和

这东西好像可以说是 sos dp，我也不太懂。

引入

对于 \(i\) 求 \(\sum_{j \subset i} a_j\)

1. 直接枚举子集 \(O(n3^n)\)，直接爆炸了。
2. sos dp，\(O(n2^n)\)，一下就好了。

代码：

for(int j = 0; j < n; j ++) {
	for(int i = 0; i < 1 << n; i ++) {
		if(i >> j & 1) f[i] += f[i ^ 1 << j];
	}
}

理解一下：其实就是对于每一层的 \(j\)，来看所有的 \(i\)，然后由于 \(i\) 从小到大进行遍历的，所以说 \(f_i\) 是 \(j - 1\) 时的值，那么增加 \(j\) 这一层的变化量就到了 \(j\) 这一层的 \(f_i\)。

反正总结一句话：固定维度增加这一维的变化量。

例题

arc100_e

考试题，这不是直接上个 sos dp 秒了吗？只是改成了记录最大值 + 次大值吗？

竟然是个蓝？

所以强的不是我，是板子和前人的思路。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using ld = long double;
using ull = unsigned long long;
using ai2 = array<int, 2>;
const int N = 18;
int n, a[1 << N], ans;
ai2 f[1 << N];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < 1 << n; i ++) cin >> a[i], f[i] = ai2{a[i], -0x3f3f3f3f};
    for(int j = 0; j < n; j ++) {
        for(int i = 0; i < 1 << n; i ++) {
            if(i >> j & 1) {
                vector<int> vec = {f[i][0], f[i][1], f[i ^ 1 << j][0], f[i ^ 1 << j][1]};
                sort(vec.begin(), vec.end(), greater<>());
                f[i] = ai2{vec[0], vec[1]};
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i < 1 << n; i ++) {
        ans = max(ans, f[i][0] + f[i][1]);
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}