「从零开始的莫比乌斯反演」2. 莫比乌斯函数
看到这个标题没，它的标号是2，说明肯定还有个0和1。
莫比乌斯函数，它是一个函数。。。
定义
其中，\(p_i\)为互不相同的素数。
本章完
稍微解释一下：莫比乌斯函数的意思是：
- \(n = 1\)时，\(\mu(n) = 1\)；
- \(n\)肯定由若干质数相乘得到（大于\(1\)的任何正整数都能分解质因数）。如果乘起来得到\(n\)的这一堆质数里，没有相互重复的，那么\(\mu(n) = (-1)^{k}\)，\(k\)是\(n\)质因子的个数；
- 剩下的情况（就是有重复质因子），\(\mu(n) = 0\)
性质
性质0：莫比乌斯函数是积性函数
积性函数指对于所有互质的整数\(a\)和\(b\)，有性质\(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数
——《百度百科》
这个百科定义还挺简洁的，就不解释了QwQ
显然，莫比乌斯函数是积性函数
下面给出证明，这个证明比较简单，而且我自己写得比较乱，不想看可以跳过。
显然，当\(n = 1\)时，对于任意正整数\(m\)，有\(\mu(1) \cdot \mu(m) = \mu(1 \cdot m)\)；
对于\(\mu(n) = 0\)，显然，\(n = \prod p_i^{a_i}\)，且存在某个\(a_i > 1\)。那么，对于任意正整数\(m\)，有\(mn = \prod p_i^{a_i}\)，且存在某个\(a_i > 1\)，故\(\mu(mn) = 0 = \mu(m) \cdot \mu(n)\)；
对于\(n > 1, m > 1\)，且\(\mu(n) \cdot \mu(m) \neq 0\)，当\(\operatorname{gcd}(n, m) = 1\)时，它们没有相同的质因子，故\(mn = \prod p_i^{a_i}\)，且对于所有\(i\)，都有\(a_i = 1\)。故有\(\mu(n) \cdot \mu(m) = (-1)^{k_1 + k_2}\)。
性质1：\(n > 1\)时，\(\sum\limits_{d|n}\mu(d) = 0\)
这条性质还可以换个说法：
令\(\varepsilon(n) = \sum\limits_{d|n}\mu(d)\)，那么：
这条性质超级重要，一定要弄明白，后面狄利克雷卷积还要用到它（其实是上面那个\(\varepsilon(n)\)）。
证明为了保证相对严谨，可能有一点枯燥。总体来说就是排列组合+二项式定理。实际上是一个高中很常用的做题技巧。
\(n = 1\)时，\(\sum\limits_{d|n} \mu(d) = 1\)。这是显然的。
下证： \(n > 1\)时，\(\sum\limits_{d|n}\mu(d) = 0\)。
假设，\(\mu(n) \neq 0, n = \prod\limits_{i = 1}^{k}p_i^{a_i}\)，其中\(p_i\)为互不相同的质数（下同）。那么，由\(\mu(n) \neq 0\)可知，\(a_i\)恒为\(1\)。
那么，我们重新理解\(d|n\)。能整除\(n\)的数，它一定由一个或多个\(p_i\)相乘得得到。而且，这些\(p_i\)任意组合，它们相乘得到的数，一定能整除\(n\)。所以，现在我们考虑，将这些\(p_i\)组合，看看得到的结果。
当\(d\)由偶数个\(p\)（包括\(0\)，因为\(1\)也要考虑）构成时，显然\(\mu(d) = 1\)；当\(d\)由奇数个\(p\)构成时，\(\mu(d) = -1\)。
那么，\(\sum\limits_{d|n}\mu(d) = C_{k}^{0} - C_{k}^{1} + \cdots + (-1)^{k}C_{k}^{k}\)。
我们考虑\((a + b)^n\)，将其展开，得到：
\[C_{n}^{0} a^n + C_{n}^{1} a^{n-1}\cdot b + \cdots + C_{n}^{n}b^n \]显然，我们将\(a = 1, b = -1\)代入，展开，即可得上式。而\(a = 1, b = -1\)时，显然\((a + b)^n = 0\)恒成立。故\(\sum\limits_{d|n}\mu(d) = C_{k}^{0} - C_{k}^{1} + \cdots + (-1)^{k}C_{k}^{k} = 0\)恒成立。
性质2：\([\operatorname{gcd}(i,j) = 1] \Longleftrightarrow \sum\limits_{d|\operatorname{gcd}(i,j)}\mu(d)\)
根据上一点性质，显然，\(\operatorname{gcd}(i,j) = 1\)时，代入\(n\)，容易得到，等式右侧的值也为\(1\)。反之，则为\(0\)。
线性筛
莫比乌斯函数是积性函数，所以也是可以线性筛的。
我们枚举\(i\)的时候，显然如果\(i\)是质数，那么mu[i] = -1；
否则，我们枚举prime[j]的时候，i * prime[j]的质数个数一定恰好比i多一个。所以，mu[i * prime[j]] = -mu[i]；
最后，如果i % prime[j] == 0，说明i * prime[j]是有重复质因子的，此时mu[i * prime[j]] = 0（全局变量默认就是\(0\)，所以没有特别写）。
代码：
int prime[maxn], numprime, mu[maxn];
bool isprime[maxn];
void make_mu(const int &up_bound) {
isprime[0] = isprime[1] = 1;
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < up_bound; i++) {
if (!isprime[i]) {
prime[numprime++] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 0; j < numprime && i * prime[j] < up_bound; j++) {
isprime[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0) break;
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
for (int i = 1; i < up_bound; i++) mu[i] += mu[i - 1];
}
PS：这个代码是提交过题目的，放心用QwQ
