一种3位sar adc工作过程推导

3位sar adc采用下图的电容阵列，需要2³个电容，它的基本单元有二进制加权的电容阵列、1个与LSB电容等值的电容；它利用电容上的初始电荷再分配完成二进制搜索算法，因此功耗一般比较小，而且不需要额外的采样保持电路¹。所有电容的正端（也称为上极板）与比较器的反相端连接，比较器同相端接gnd，下面对其工作过程进行大致分析

参考电压\(V_{refP}=V_{ref}\)，\(V_{refN}=0\)；\(V_{+}=0\)，假设\(\frac{5}{8}V_{ref}<V_{in}<\frac{6}{8}V_{ref}\)

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分析过程：

step 0：采样阶段

\(\phi_{1}\)开关闭合，比较器反相端和同相端都接gnd，电容负端都接输入电压V_in

电容上存储的电荷量\(Q=(0-V_{in})\cdot8C\)，与输入电压V_in成正比

\(V_{+}=V_{-}=0\)

step 0：保持阶段（可忽略这一阶段，认为直接进入电荷再分配阶段）

将开关\(\phi_{1}\)断开，所有电容的负端（也称为下极板）与gnd连接，根据电容的电荷量守恒，可得

\[(V_{-}-0)\cdot8C=(0-V_{in})\cdot8C \]

所以比较器的反相端电压：\(V_{-}=-V_{in}\)

step 1：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

首先将开关\(\phi_{1}\)断开，电容4C的负端接V_ref
根据电容上的电荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{-}-V_{ref})\cdot4C+(V_{-}-0)\cdot4C=(0-V_{in})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{-}=-V_{in}+\frac{1}{2}V_{ref}\)

则

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{1}{2}V_{ref} \end{aligned} \]

第1次：\(V_{in}\)与\(\frac{1}{2}V_{ref}\)两者进行比较，则比较器输出为高电平，即最高位D₂=1

step 2：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

因为最高位D₂=1，所以电容2C的负端接V_ref；电容4C的负端保持接V_ref
根据电容上的电荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{-}-V_{ref})\cdot6C+(V_{-}-0)\cdot2C=(0-V_{in})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{-}=-V_{in}+\frac{3}{4}V_{ref}\)

则

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{3}{4}V_{ref} \end{aligned} \]

第2次：\(V_{in}\)与\(\frac{3}{4}V_{ref}\)两者进行比较，则比较器输出为低电平，即次高位D₁=0

step 3：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

因为最高位D₂=1且次高位D₁=0，所以电容C的负端接V_ref；电容2C的负端仍接gnd，电容4C的负端保持接V_ref
根据电容上的电荷量相等，可得

\(\begin{aligned} &(V_{-}-V_{ref})\cdot5C+(V_{-}-0)\cdot3C=(0-V_{in})\cdot8C \end{aligned}\)

\(\Rightarrow V_{-}=-V_{in}+\frac{5}{8}V_{ref}\)

则

\[\begin{aligned} V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{5}{8}V_{ref} \end{aligned} \]

第3次：\(V_{in}\)与\(\frac{5}{8}V_{ref}\)两者进行比较，则比较器输出为高电平，即最低位D₀=1

所以3位sar adc输出数字码为D₂D₁D₀=101

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小结

• 输入电压V_in首先与\(\frac{1}{2}V_{ref}\)进行比较，然后根据比较器输出结果（0或1）来选择下一个参考电压进行比较，当输出为1，则与\((\frac{1}{2}+\frac{1}{4})V_{ref}\)进行比较；若输出为0，则与\((\frac{1}{2}-\frac{1}{4})V_{ref}\)进行比较，。依次类推，比较器输出结果就可以等效地控制参考电压的改变。

下图直观反映了3次比较的状态。

graph LR; A0((1/2Vref))-.D2=1.-> A1((3/4Vref)) A0-.D2=0.-> A2((1/4Vref)) A1-.D1=1.-A3((7/8Vref)) A1-.D1=0.-A4((5/8Vref)) A2-.D1=1.-A5((3/8Vref)) A2-.D1=0.-A6((1/8Vref)) A3-.D0=1.-A23>输出:111] A3-.D0=0.-A24>输出:110] A4-.D0=1.-A25>输出:101] A4-.D0=0.-A26>输出:100] A5-.D0=1.-A27>输出:011] A5-.D0=0.-A28>输出:010] A6-.D0=1.-A29>输出:001] A6-.D0=0.-A30>输出:000]

• 当采样阶段结束后，断开开关\(\phi_{1}\)，进入电荷再分配阶段，各个电容的负端（下极板）所接的电压值与比较器反相端电压\(V_{-}\)的关系如下表，从表中可以看出大致规律。

C	C	2C	4C	\(V_{-}\)
0	0	0	0	\(-V_{in}\)
0	Vref	0	0	\(-V_{in}+\frac{1}{8}V_{ref}\)
0	0	Vref	0	\(-V_{in}+\frac{2}{8}V_{ref}\)
0	Vref	Vref	0	\(-V_{in}+\frac{3}{8}V_{ref}\)
0	0	0	Vref	\(-V_{in}+\frac{4}{8}V_{ref}\)
0	Vref	0	Vref	\(-V_{in}+\frac{5}{8}V_{ref}\)
0	0	Vref	Vref	\(-V_{in}+\frac{6}{8}V_{ref}\)
0	Vref	Vref	Vref	\(-V_{in}+\frac{7}{8}V_{ref}\)

• 本文的3位sar adc需要2³=8个电容，而与之前的文章《一种4位sar adc工作过程推导》相比，4位sar adc同样也只需要8个电容，所以初步得出结论：这个sar adc电路结构与上篇文章相比，缺点是需要更多的电容组成二进制权重，优点是不需要提供\(\frac{1}{2}V_{ref}\)的电压。

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参考文献

- [1] 逐次逼近型ADC