剑指offer-31：整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）
参考： https://troywu0.gitbooks.io/interview/整数中出现1的次数（从1到n整数中1出现的次数）.html
题目描述
求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。
解题思路1 （暴力法，时间复杂度: O(nlog(n)）
1 public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { 2 int count = 0; 3 while (n > 0) { 4 String nStr = String.valueOf(n); 5 for (int i = 0; i < nStr.length(); i++) { 6 if (nStr.charAt(i) == '1') 7 count++; 8 } 9 n--; 10 } 11 return count; 12 }
这种方法的思路简单，统计每一个数中出现1的次数，能够快速写出代码。但是，这种方法的时间复杂度很高，O(nlog(n))，面试这么写，估计不会留下好的印象。
解题思路2 （数学规律法，时间复杂度: O(log(n)）
1 public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { 2 int low = 0, cur = 0, high = 0; 3 int count = 0; 4 int factor = 1; 5 while (factor <= n) { 6 high = n / (factor * 10); 7 low = n % factor; 8 // cur = (n - high * (factor * 10) - low) / factor; 9 cur = (n / factor) % 10; 10 if (cur == 0) 11 count += high * factor; 12 else if (cur == 1) 13 count += high * factor + low + 1; 14 else 15 count += (high + 1) * factor; 16 factor *= 10; 17 } 18 return count; 19 }
这一个思路利用了数字的规律和特点，解决问题的效率非常的高，时间复杂度只与数的位数有关。
首先看一个规律：
- 从1 - 10中，个位中 1 出现的次数是1，即1这个数；
- 从1 - 100中，十位中 1 出现的次数是10， 即10, 11, ..., 18, 19；
- 从1 - 1000中，百位中 1 出现的次数是100，即100, 101, ..., 198, 199；
- 以此类推。
假设有一个四位数，使用 cur 来表示当前位数对应的数值，high表述cur左边的数，low表示cur右边的数。会有三种情况产生：
- 第一种：cur = 0，1出现的次数等于 high * (该位数对应的基数)
- 假设四位数为1023，求百位上1出现的次数；
- 此时 high = 1, cur = 0, low = 23；
- 次数 = 1 * 100；
- 即100, 101, ..., 198, 199。
- 第二种：cur = 1，1出现的次数等于 high * (该位数对应的基数) + low + 1
- 假设四位数为1123，求百位上1出现的次数；
- 此时 high = 1, cur = 1, low = 23；
- 次数 = 1 * 100 + 23 + 1；
- 即100, 101, ..., 198, 199 + 1100, 1101, ..., 1122, 1123。
- 第三种：cur > 1，1出现的次数等于 (high + 1) * (该位数对应的基数)
- 假设四位数为1223，求百位上1出现的次数；
- 此时 high = 1, cur = 2, low = 23；
- 次数 = (1 + 1) * 100；
- 即100, 101, ..., 198, 199 + 1100, 1101, ..., 1198, 1199。
根据这一规律，从最低位至最高位，依次求出1出现的次数，最后相加得到最终的结果。
